数学高中人教A版必修4学案：2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析

第二章　平面向量
2.3　平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示(第一课时)
学习目标
1.了解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示某一向量;掌握两个向量夹角的定义及两向量垂直的概念,会初步求解简单的两向量夹角问题,会根据图形判断两个向量是否垂直.
2.通过本节学习,让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法,体会求解一些比较简单向量夹角的方法.
3.培养学生的动手操作能力、观察判断能力,体会数形结合思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b,c的和,怎样表达?
问题2:如果向量b与e1共线、c与e2共线,上面的表达式发生什么变化?
二、学生探索,尝试解决
问题1:?
问题2:?
三、信息交流,揭示规律
问题3:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1,e2之间有什么关系?a是否可以用含有e1,e2的式子表示出来?
问题4:一对实数λ1,λ2是否唯一?
平面向量基本定理
四、运用规律,解决问题
【例题】已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,设AB=a,AD=b,试用基底a,b表示MA,MB,MC和MD.
五、变式演练,深化提高
练习1:下面三种说法:
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;
(2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底;
(3)零向量不可以作为基底中的向量.
其中说法正确的是　　　　　(写出正确说法的序号).?
练习2:在平面内的四边形MNPQ中,下列一定可以作为该平面内任一向量的一组基底是(　　)
A.MN与QP B.MQ与PN C.QN与NQ D.MN与MP
编题不是教师的专利,鼓励学生每人各编一个关于平面向量基本定理的题目,然后由同位算出答案.
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
布置作业
课本P102习题2.3B组第3,4题.
参考答案
二、学生探索,尝试解决
问题1:a=b+c.
问题2:a=λ1e1+λ2e2.
三、信息交流,揭示规律
问题3:如图所示,平面内任一向量a,以及该平面内两个不共线的向量e1,e2,将这三个向量的始点平移至点O,并以a所在的直线为对角线,以e1,e2所在的直线为邻边,作平行四边形.
OA=e1,OM=λ1e1,OB=e2,ON=λ2e2,a=λ1e1+λ2e2
问题4:由作图中分解结果唯一,决定了两个分解向量唯一.由平行向量定理,有且只有一个实数t1,使得OM=λ1e1成立,同理λ2也唯一,即一组数λ1,λ2唯一确定.
平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,存在唯一的一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
说明:(1)我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)定理中,e1,e2是非零向量;
(3)a是平面内的任一向量,且实数对λ1,λ2是唯一的;
(4)平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.
四、运用规律,解决问题
【例题】解:因为AC=AB+AD=a+b,
DB=AB?AD=a-b,
所以MA=-12AC=-12(a+b)=-12a-12b,
MB=12DB=12(a-b)=12a-12b,
MC=12AC=12a+12b,
MD=-12DB=-12a+12b.
五、变式演练,深化提高
练习1:解析:平面向量的基底有无数对;
零向量与任意向量平行,不可以参与基底.
所以只有(2)正确.
答案:(2)
练习2:解析:四组向量中只有D选项中的两个不共线.
答案:D
六、反思小结,观点提炼
1.平面向量基本定理;2.平面向量基本定理的应用;3.由特殊到一般、归纳概括 .