数学高中人教A版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式（第一课时）Word版含解析

第一章　三角函数
1.3　三角函数的诱导公式
(第一课时)
/
学习目标
1.识记诱导公式一~四.
2.理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.
3.通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.
4.渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想.
学习过程
一、课前完成部分
(一)复习引入(预习课本P23~28,找出疑惑之处,并作记号)
问题1:任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的?
问题2:回忆公式一:sin(α+k·2π)=　　　　;
cos(α+k·2π)=　　　　;tan(α+k·2π)=　　　　.?
问题3:公式一的用途有哪些?
问题4:求下列三角函数值:(1)sin
7π
6
;(2)cos
7π
6
;(3)tan
7π
6
.
(二)探究新知
问题5:设
7π
6
,
π
6
的终边分别交单位圆于点P,P',则点P与P'的位置关系如何?设点P(x,y),则点P'怎样表示?
问题6:将
7π
6
用(π+α)的形式表达为　　　　.?
问题7:sin
7π
6
与sin
π
6
的值关系如何?
问题8:设α为任意角
(1)设α与(π+α)的终边分别交单位圆于P,P',设点P(x,y),那么点P'坐标怎样表示?
(2)sinα与sin(π+α),cosα与cos(π+α)以及tanα与tan(π+α)关系分别如何?
经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?
问题9:回顾刚才探索公式二的过程,试总结研究三角函数诱导公式的路线图.
问题10:给定一个角α.
(1)角-α和角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
(2)角π-α和角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?
知识总结:
二、课堂完成部分
(一)典型例题:
【例1】求下列各角的三角函数值.
(1)sin(-
7π
4
);(2)cos
2π
3
;(3)cos(-
31π
6
).
方法总结:
【例2】化简
cos(180°+??)sin(360°+??)
sin(-??-180°)cos(-??-180°)
.
(二)课堂练习
1.将下列三角函数值华为锐角的三角函数值:
(1)cos
13π
9
;(2)sin(1+π);(3)sin(-
π
5
);(4)cos(-70°6').
2.求下列三角函数值:
(1)cos(-420°);(2)sin(-
7π
6
);(3)sin(-1305°);(4)cos(-
79π
6
).
3.化简:
(1)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°);
(2)sin3(-α)cos(2π+α)tan(-α-π).
(三)课堂小结
三、达标检测
1.已知sin(π+θ)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.sinθ<0,cosθ>0 B.sinθ>0,cosθ<0
C.sinθ>0,cosθ>0 D.sinθ<0,cosθ<0
2.sin585°的值为(　　)
A.-
2
2
B.
2
2
C.-
3
2
D.
3
2
3.若sin(π+α)=-
1
2
,则cosα的值为(　　)
A.±
1
2
B.
1
2
C.
3
2
D.±
3
2
4.在直角坐标系中,若α与β的终边关于y轴对称,则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin(α+π)=sinβ B.sin(α-π)=sinβ
C.sin(2π-α)=-sinβ D.sin(-α)=sinβ
5.sin315°-cos135°+2sin570°的值是　　　　.?
参考答案/
一、课前完成部分
(一)复习引入
问题1:在角α的终边上任取一点P(x,y),则sinα=
??
??
2
+
??
2
,cosα=
??
??
2
+
??
2
,tanα=
??
??
.当P为角α的终边和单位圆的交点时,有sinα=y,cosα=x,tanα=
??
??
.
问题2:sinα,cosα,tanα.
问题3:公式一把求任意角的三角函数值转化为求[0,2π)范围内的角的三角函数值问题.
问题4:根据三角函数的定义,画出
7π
6
的终边,求出终边与单位圆的交点,得到(1)sin
7π
6
=-
1
2
,(2)cos
7π
6
=-
3
2
,(3)tan
7π
6
=
3
3
.
(二)探究新知
问题5:点P与P'关于原点对称;(-x,-y).
问题6:
7π
6
=π+
π
6
.
问题7:sin
7π
6
=-sin
π
6
.
问题8:(1)(-x,-y);
(2)sinα=-sin(π+α),cosα=-cos(π+α),tanα=tan(π+α).
经过探索,得到的公式为sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
记忆方法:结构特征:①函数名不变,符号看象限(把α看作锐角时);②把求(π+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.
问题9:回顾探索公式二的过程,总结出研究三角函数诱导公式的路线图:角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.
问题10:给定一个角α.
(1)角-α和角α的终边关于x轴对称;sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;
(2)角π-α和角α的终边关于y轴对称;sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
知识总结:
公式一:sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα
公式二:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα
公式三:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα
公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα
总结:2kπ±α(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
二、课堂完成部分
(一)典型例题
【例1】解:(1)sin(-
7π
4
)=-sin(
7π
4
)=-sin(2π-
π
4
)=sin
π
4
=
2
2
;
(2)cos
2π
3
=cos(π-
π
3
)=-cos
π
3
=-
1
2
;
(3)cos(-
31π
6
)=cos(
31π
6
)=cos(4π+π+
π
6
)=-cos
π
6
=-
3
2
.
方法总结:由诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角三角函数,一般步骤如下:
(1)化负角的三角函数为正角的三角函数;
(2)化为[0,2π)上的三角函数;
(3)化为锐角的三角函数.
概括为“负化正,正化小,化到锐角就终了”.
用框图表示为
/
【例2】解:cos(180°+α)=-cosα,sin(360°+α)=sinα,
sin(-α-180°)=sin[-(α+180°)]=-sin(α+180°)=-(-sinα)=sinα,
cos(-α-180°)=cos(α+180°)=-cosα,
所以原式=
-cos??·sin??
sin??·(-cos??)
=1.
(二)课堂练习
1.(1)-cos
4π
9
　(2)-sin1　(3)-sin
π
5
　(4)cos70°6'
2.(1)
1
2
　(2)
1
2
　(3)
2
2
　(4)-
3
2
3.(1)-sin2αcosα　(2)sin4α
(三)课堂小结
1.2kπ±α(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;
2.
/
三、达标检测
1.B　2.A　3.D　4.C　5.-1