课件32张PPT。第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段考场对接 例题1 小明有长为2 cm, 4 cm, 5 cm, 7 cm的四根木条, 任选其中三根组成三角形, 他能组成____个三角形.题型一 利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形考场对接 2分析锦囊妙计
判断三条线段能否组成三角形的方法
(1)根据三角形三边关系, 判断两条较短线段之和是否大于最长线段. 若是, 则能组成三角形；反之, 则不能组成三角形.
(2)根据三角形三边关系, 判断最长线段与最短线段之差是否小于第三边. 若是, 则能组成三角形；反之, 则不能组成三角形.题型二 利用三角形的三边关系确定第三边例题2 [嘉兴中考]长度分别为2, 7, x的三条线段能组成一个三角形, 则x的值可以是( ).
A．4 B．5 C．6 D．9C锦囊妙计
利用三角形的两边长确定第三边长的方法
根据“三角形两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小于第三边”, 可得三角形第三边的长度的范围, 然后再做出选择．题型三 利用三角形三边关系求三角形的周长例题3 [贺州中考]一个等腰三角形的两边长分别为4, 8, 则它的周长为( ).
A．12 B．16
C．20 D．16或20C锦囊妙计
利用分类讨论解决等腰三角形的问题
涉及等腰三角形边的有关问题时, 常要进行分类讨论, 然后看是否满足三角形的三边关系, 不满足的要舍去.题型四 三角形的高的确定和相关运算例题4 如图11-1-24, AB⊥BD于点B, AC⊥CD于点C, 且AC与BD交于点E. (1)△ADE的边DE上的高是______, 边AE上的高是______；(2)若AE=5, DE=2,CD= , 则AB=______.ABDC分析 △ADE是钝角三角形,边DE上的高为AB,边AE上的高为DC,则S△ADE=锦囊妙计
“等积法”的运用
(1)在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中, 已知其中的三个量, 可用等积法求第四个量.
(2)对于直角三角形, 斜边上的高=两条直角边长的乘积÷斜边长.例题5 如图11-1-25所示, 在△ABC中, 已知D, E, F分别为边BC, AD, CE的中点, 且S △ABC=4 cm2, 则阴影部分的面积等于( ).
A．2 cm2 B．1 cm2题型五 三角形中线的应用B分析例题6 如图11-1-26所示的是一块三角形菜地.
(1)要把这块菜地分成面积相等的四块, 应该怎样分？
(2)现要求把这块菜地分成面积比为2∶3∶4的三块, 且图中的A处是这三块菜地的公共水源, 则应该怎样分？解 (1)答案不唯一, 以下两种仅供参考, 如图11-1-27①②所示.
(2)量出BC的长度, 把BC九等分, 从左到右分别取点D, E, 使BD∶DE∶EC=2∶3∶4, 连接AD,AE, 则分
成的三个三角形的面积之比为2∶3∶4,如
图11-1-28所示.锦囊妙计
三角形面积问题的解题策略
(1)已知三角形的中线(或边的中点), 可利用三角形的中线平分三角形的面积这一特点解决.
(2)已知三角形的高(或垂线), 可考虑应用等(同)底等(同)高的三角形面积相等求解；或考虑应用等(同)高的三角形的面积比等于对应底边长之比求解.题型六 三角形角平分线的相关计算例题7 如图11-1-29, AD是△ABC的角平分线, P为AD上一点, PM∥AC交AB于点M, PN∥AB交AC于点N. 求证：PA平分∠MPN.证明 ∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵PM∥AC, PN∥AB,
∴∠APM=∠PAN, ∠APN=∠PAM,
∴∠APM=∠APN, 即PA平分∠MPN.例题8 如图11-1-30, 在△ABC中, AD是高,AE是角平分线, ∠CAB=50°, ∠C=60°. 求∠DAE的度数.证明 ∵AD是△ABC的高, ∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=30°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠EAC= ∠CAB=25°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=5°.锦囊妙计
三角形的角平分线的运用技巧
运用三角形的角平分线既可以证明角相等、角的倍分关系, 又可以进行角的计算.遇到角平分线首先得到相等的两个角, 再结合其他条件解决问题.题型七 有关三角形的探究类问题例题9 (1)如图11-1-31①, D1是△ABC的边AB上的一点, 则图中共有_____个三角形；
(2)如图11-1-31②, D1, D2是△ABC的边AB上的两点(不与点A, B重合), 则图中共有_____个三角形；36(3)如图11-1-31③, D1, D2, D3是△ABC的边AB上的3个点(不与点A, B重合), 则图中共有_____个三角形；10(4)如图11-1-31④, D1,D2, …, D n 是△ABC的边AB上的n个点(不与点A, B重合), 则图中共有________个三角形．分析锦囊妙计
确定三角形个数的常用方法
(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形, 按照三角形形成的先后顺序去数)；
(2)按三角形的大小顺序去数；
(3)可从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数； (4)固定一个顶点变换另外两个顶点去数.在数三角形的个数时, 可按照上述四种方法中的任意一种来操作, 按照顺序, 不要混用,这样才能做到不重不漏.如果从三角形的一个顶点作射线与对边相交, 那么整个图形中三角形的个数为 (n为对边上点的个数, 包括对边的两个端点).
谢 谢 观 看！课件35张PPT。第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角考场对接 题型一 三角形内角和定理的应用考场对接 例题1 填 空：(1)在△ABC中, 若∠A＝80°,∠C＝20°, 则∠B＝______°；
(2)一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7, 则这个三角形中最大内角的度数是_____.分析 (1)三角形的内角和为180°, 已知两个角的度数可求第三个角的度数；80105°锦囊妙计
三角形内角和定理的应用
(1)已知三角形中两个角的度数或两个角的度数和, 直接求出第三个角；
(2)已知三角形三个角之间的关系(如度数之比、各角之间的倍分关系等), 可结合三角形内角和定理列方程求出各角度数.题型二 直角三角形性质与判定的应用例题2 如图11-2-12,在△ABC中, ∠BAC=90°,AC≠AB, AD是斜边BC上的高, DE⊥AC, DF⊥AB, 垂足分别为E, F, 则图中与∠C相等的角有( )．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个A分析 ∵∠BAC=90°, AD是斜边BC上的高,DF⊥AB,
∴∠C+∠B=90°, ∠BAD+∠B=90°, ∠BDF+∠B=90°,
∴∠C=∠BAD=∠BDF.
∵AD是斜边BC上的高, DE⊥AC,
∴∠DAC+∠C=90°, ∠DAC+∠ADE=90°,
∴∠C=∠ADE,
∴图中与∠C相等的角有3个.锦囊妙计
直角三角形性质的应用
(1)根据直角三角形中两锐角互余的性质,在已知一个锐角的条件下, 可求另一个锐角；
(2)根据同角(或等角)的余角相等, 可判定多个直角三角形中角相等.例题3 如图11-2-13所示, AB∥CD, 直线EF与AB, CD分别交于点E, F, ∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EPF是直角三角形.证明 ∵AB∥CD,
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP, FP分别平分∠BEF, ∠DFE,
∴∠PEF＝ ∠BEF,
∠PFE＝ ∠DFE,
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝ ×180°＝90°,
∴∠P＝90°, 即△EPF是直角三角形.锦囊妙计
判定一个三角形是直角三角形的方法
(1)证明三角形的一个内角等于90°；
(2)证明三角形中的两个锐角互余；
(3)证明三角形的一个内角与已知的直角相等.例题4 如图11-2-14, 将一等边三角形沿虚线剪去一个角后,∠1＋∠2等于( )．
A．120° B．240°
C．300° D．360°B 题型三 三角形外角性质的应用锦囊妙计
三角形外角性质的应用
(1)利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这个性质, 知道其中的两个角,可求第三个角；
(2)利用“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的外角”这个性质, 可判断两个角的大小关系；
(3)三角形的内角和定理、三角形的外角性质常常与方程结合, 用于解决三角形中有关角度的计算和推理问题.题型四 三角形与平行线结合求角的度数例题5 如图11-2-15, 直线a∥b, ∠A=38°, ∠1=46°, 则∠ACB的度数是( ).
A．84° B．106°
C．96° D．104°C锦囊妙计
三角形、平行线性质的综合应用
探索图形特点, 利用平行线的性质, 抓住已知角和未知角的相等(或互补)关系, 巧妙转化, 再结合三角形的内角和定理、外角的性质解决问题.题型五 折叠中的角度计算例题6 如图11-2-16所示, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°, 点D在AB边上, 将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处. 若∠A=26°, 则∠CDE的度数为( ).
A．71° B．64°
C．80° D．45°A分析 由折叠的性质, 得∠ACD=∠BCD,∠CDB=∠CDE. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=45°.∵∠A=26°, ∴∠CDB=∠A+∠ACD=26°+45°=71°, ∴∠CDE=71°.例题7 [梅州中考]如图11-2-17, 在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片, 点D, E分别在边AB, AC上, 将△ABC沿着DE折叠压平, 点A与点A′重合. 若∠A=75°, 则∠1+∠2等于( ).
A．150° B．210°
C．105° D．75°A分析 ∵△A′DE是由△ADE翻折得到的,
∴∠A′ED=∠AED, ∠A′DE=∠ADE, ∠A′=
∠A=75°,
∴∠A′ED+∠A′DE=∠AED+∠ADE=
180°-75°=105°,
∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°.锦囊妙计
三角形折叠问题的解题策略
利用折叠前后图形存在的特点, 实现角的等量转化, 再结合三角形内角和定理、外角性质解决问题.题型六 利用三角形内角和定理及外角性质解决实际问题例题8 一个零件的形状如图11-2-18所示, 按规定∠A应等于90°, ∠B, ∠C应分别是21°和32°. 检验工人量得∠CDB=148°, 就断定这个零件不合格, 这是为什么呢？解 如图11-2-18所示, 延长CD交AB于点E.
∵∠CDB是△BDE的一个外角,
∴∠CDB=∠B+∠BED.
∵∠BED是△AEC的一个外角,
∴∠BED=∠C+∠A,
∴∠CDB=∠A+∠B+∠C=90°+21°+
32°=143°≠148°,
∴可以断定这个零件不合格.锦囊妙计
三角形实际问题的解题策略
当所求角或已知角不是三角形的内、外角时, 可利用转化思想, 适当添加辅助线, 把原问题转化为三角形问题, 再利用三角形外角的性质, 搭建起内、外角的“桥梁”, 结合三角形内角和定理求解.题型七 三角形内角和定理、角平分线和高的综合应用例题9 如图11-2-19 所 示 , 在△ABC中 ,∠B=38°, ∠C=54°, AE是BC边上的高, AD是△ABC的角平分线. 求∠DAE的度数.解 在△ABC中, ∵∠B=38°, ∠C=54°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-54°=88°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠CAD= ∠BAC= ×88°=44°.
∵AE是BC边上的高, ∴∠AEC=90°.
在△AEC中, ∵∠AEC=90°, ∠C=54°,
∴∠CAE=90°-∠C=90°-54°=36°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=44°-36°=8°.锦囊妙计
三角形的内角和、高、角平分线
综合应用问题的解题策略
①抓住角平分线平分角的特点, 结合直角三角形的性质求角；②结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线, 它们的夹角等于三角形另外两个角的差(大角减小角)的一半.题型八 三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用例题10 在△ABC中, ∠A=60°.
(1)如图11-2-20①所示, ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P, 求∠BPC的度数；
(2)如图11-2-20②所示, D为BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P, 求∠BPC的度数.解 (1)∵BP, CP分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC= ∠ABC, ∠PCB= ∠ACB.
在△BCP中,∠BPC=180°-(∠PBC +∠PCB)
=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=90°+ ∠A
=120°.(2)∵BP, CP分别平分∠ABC和∠ACD,
∴∠PBC= ∠ABC, ∠PCD= ∠ACD.
∵∠PCD是△BCP的一个外角, ∠ACD是
△ABC的一个外角,
∴ ∠P C D = ∠B P C + ∠ P B C , ∠ A C D =
∠ABC+∠A,∴∠BPC=∠PCD-∠PBC
= (∠ACD -∠ABC)
= ∠A =30°.锦囊妙计
角平分线夹角的“三种关系”
(1)如图11-2-21①, BD, CD均为△ABC的内角平分线, 则∠BDC=90°+ ∠A．
(2)如图11-2-21②, BE, CE分别为△ABC的内角平分线和外角平分线, 则∠BEC= ∠A.
(3)如图11-2-21③, BP, CP均为△ABC的外
角平分线, 则∠BPC=90°- ∠A．
谢 谢 观 看！课件24张PPT。第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和考场对接 题型一 利用多边形的内角和公式求内角和或边数考场对接 例题1 (1)若一个多边形的边数为6, 则这个多边形的内角和为______度．
(2)若一个多边形的内角和是540°, 则这个多边形是_____边形．720五锦囊妙计
多边形内角和公式的应用
(1)已知边数n, 可直接运用内角和公式(n-2)×180°求内角和；
(2)已知内角和, 可利用内角和公式构造关于n的方程求多边形的边数.题型二 根据内(外)角的度数求正多边形的边数例题2 若一个正多边形的每个内角均为156°, 则这个正多边形的边数是( ).
A．13 B．14
C．15 D．16C锦囊妙计
确定多边形边数的方法
(1)已知多边形的每个内角的度数为a, 求多边形边数的方法：根据多边形内角和公式列方程(n-2)×180°=an, 解方程求得n；
(2)已知多边形的每个外角的度数为b, 求多边形边数的方法：根据多边形外角和等于360°得n= .题型三 多边形对角线的条数例题3 若一个正n边形的每个内角均为144°, 则这个正n边形的所有对角线的条数是( ).
A．7 B．10
C．35 D．70C分析 ∵一个正n边形的每个内角均为144°,
∴144n=180×(n-2), 解得n=10.
故这个正多边形为正十边形,∴其对角线的条数是锦囊妙计
确定多边形对角线条数的方法
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线；
(2)n边形共有 n(n-3)条对角线.题型四 多边形的内角和、外角和定理的综合应用例题4 已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°, 求这个多边形的边数.解 设这个多边形的边数为n.
依题意, 得(n-2)×180°-360°=1080°,
解得n=10,
所以这个多边形的边数是10.锦囊妙计
已知多边形的内角和与外角和的数量关系求边数n时, 可列关于n的方程来求解.例题5 已知四边形的四个外角的度数之比为1∶2∶3∶4, 求它的四个内角的度数.解 设四个外角的度数分别为x, 2x, 3x, 4x, 则由多
边形外角和定理, 得x+2x+3x+4x=360°, 解得x=36°.
∴四个外角的度数分别为36°, 72°, 108°, 144°,
∴四个内角的度数分别为144°, 108°, 72°, 36°.锦囊妙计
已知各部分之比, 一般是设每一份为未知数,先根据题意列方程求出每一份的具体值, 然后再求各部分的值.题型五 计算不规则图形中多个角的度数和例题6 如图11-3-9,求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F的度数.解 如图11-3-9, 连接BE, 设BC, DE交于点O. ∵∠C+∠D+∠COD=180 ° , ∠OBE+∠OEB+∠BOE=180 ° , ∠COD=
∠BOE, ∴∠C+∠D=∠OBE+∠OEB,
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+
∠ABE+∠FEB+∠F=360 ° .锦囊妙计
求多个角的度数和的方法
(1)如果所有的角都是某个多边形的内角, 那么可以直接由多边形的内角和公式求得.
(2)如果所有的角不在同一个多边形中, 可将这些角转化到一个或几个多边形中, 然后由多边形的内角和公式求得.题型六 多边形内角和与角平分线的综合应用例题7 如图11-3-10, 在五边形ABCDE中, ∠C=100°, ∠D=75°,
∠E=135°, AP平分∠EAB, BP平分∠ABC, 求∠P的度数.解 ∵∠EAB+∠ABC+∠C+
∠D+∠E=(5-2)×180°=540°, ∠C=100°,
∠D=75°, ∠E=135°,
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-
∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB= ∠EAB.
同理可得, ∠ABP= ∠ABC.
∵∠P+∠PAB+∠ABP=180°,
∴∠P=180°-∠PAB-∠ABP=180°- ∠EAB- ∠ABC=180°-
(∠EAB+∠ABC)=180°- ×230°=65°.锦囊妙计
与角平分线有关的多边形问题的解题策略一般是先根据多边形的内角和与已知角的度数求出未知角的度数或未知角的度数之和, 再利用角平分线的性质解决问题. 解题时注意整体思想的运用.题型七 多边形内角和、外角和定理在探究性问题中的应用例题8 从一个五边形中切去一个三角形, 得到一个三角形和一个新的多边形, 那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明.解 分三种情况：
(1)若新多边形为四边形, 如图11-3-11①, 则其内角和为360°；(2)若新多边形为五边形, 如图11-3-11②, 则
其内角和为(5-2)×180°=540°；
(3)若新多边形为六边形, 如图11-3-11③, 则
其内角和为(6-2)×180°=720°.锦囊妙计
多边形剪去一个角的三种情况
(1)过多边形的一条对角线剪去一个角, 则新多边形的边数比原多边形的边数少1, 如图11-3-12①.
(2)只过多边形的一个顶点剪去一个角, 则新多边形的边数与原多边形的边数相同, 如图11-3-12②.
(3)不过多边形的顶点剪去一个角, 则新多边形的边数比原多边形的边数多1, 如图11-3-12③.
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