课件21张PPT。第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图像和性质第二十二章 二次函数22.1.1 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质考场对接 题型一 根据二次函数的定义求待定字母的值 锦囊妙计
根据二次函数的定义求待定字母的值
正确理解二次函数的定义是解题的关键. 二次函数需满足：①含有自变量的代数式是整 式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项 系数不等于0.题型二 利用顶点式确定抛物线的顶点坐标或对称轴 例题2 若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在 第一象限, 则m的取值范围为( ).
A．m>1 B．m>0
C．m>-1 D．-1利用顶点式确定抛物线的顶点坐标和对称轴
抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h, k),对称轴为直线x=h.题型三 二次函数的最大(小)值 例题3 已知二次函数y=a(x+1)2-b有最小值1, 则a, b的大小关系为( ).
A．a>b B．a二次函数y=a(x-h)2+k的最值与a的关系
(1)当a>0时, 图像开口向上, 二次函数有最 小值k；
(2)当a<0时, 图像开口向下, 二次函数有 最大值k. 题型四 抛物线的平移问题 例题4 将抛物线y = x2向左平 移2个单位长度, 再向下平移3个单位 长度, 得到的抛物线的函数解析式为 ( ).
A．y=(x+2)2-3 B．y=(x+2)2+3
C．y=(x-2)2+3 D．y=(x-2)2-3A锦囊妙计
抛物线平移的窍门
抛物线的平移规律为“左加右减, 上加下 减”. 将抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(h<0)平 移|h|个单位长度, 再向上(k>0)或向下(k<0)平移 |k|个单位长度, 得到的抛物线的函数解析式是 y=a(x-h)2+k. 题型五 二次函数值的大小比较 D锦囊妙计
比较二次函数值的大小的方法
比较二次函数值的大小的方法通常有图像法和 代入法.
(1)图像法是通过图像上点的位置的高低来 比较函数值的大小. 当a＞0时, 到对称轴的距离 越大的点在抛物线上的位置越高, 对应的函数 值越大；当a＜0时, 到对称轴的距离越小的点 在抛物线上的位置越高, 对应的函数值越大.
(2)代入法是将自变量的值代入函数解析 式, 求得相应的函数值后再比较其大小, 这种方 法更精确.题型六 二次函数与其他函数的综合C锦囊妙计
二次函数y=a(x-h)2+k中参数a, h, k 与图像的关系
a决定抛物线的开口方向, h决定抛物线顶 点的横坐标, k决定抛物线顶点的纵坐标.题型七 二次函数的实际应用C锦囊妙计
解决抛物线形物体的实际问题
建立适当的平面直角坐标系是解决这类问 题的关键. 若抛物线的顶点是原点, 则一般设抛 物线的函数解析式为y=ax2(a≠0)；若抛物线的 顶点坐标是(0, k), 则一般设抛物线的函数解析 式为y=ax2+k(a≠0)；若抛物线的顶点坐标是 (h, k), 则一般设抛物线的函数解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0).
谢 谢 观 看！课件30张PPT。第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图像和性质第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质考场对接 题型一 抛物线的平移例题1 将抛物线y=x2-4x-3向左平移3个单 位长度, 再向上平移5个单位长度, 得到抛物线的函 数解析式为( ).
A． y=(x+1)2-2 B．y=(x-5)2-2
C．y=(x-5)2-12 D．y=(x+1)2-12 分析 ∵y=x2-4x-3=(x-2)2-7, ∴将抛物线 y=x2-4x-3向左平移3个单位长度, 再向上平移5个单位长度, 得到的抛物线的函数解析式为y=(x-2+ 3)2-7+5, 即y=(x+1)2-2. A 锦囊妙计
由抛物线的平移确定解析式的方法
因为在平移的过程中, 抛物线的开口方向、 大小都不变, 即二次项系数不变, 所以做这类题 时, 只要将题干中二次函数的一般式变形为顶点 式, 再根据“左加右减, 上加下减”即可得到平 移后的抛物线的函数解析式.题型二 借助二次函数的图像判断其系数的符号或数量关系D分析 题型三 求二次函数的解析式例题3 在平面直角坐标系中, 已 知抛物线与x轴交于点A(1, 0)和点B, 顶 点为P(-1, 4), 求此抛物线所对应的函 数解析式. 解 设抛物线所对应的函数解析式为y=a(x+ 1)2+4(a≠0),
将点A的坐标代入, 解得a=-1,
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-(x+ 1)2+4, 即y=-x2-2x+3.例题4 已知一个二次函数的图像经过A(-1, 0), B(3, 0), C(4, -5)三点, 求这个二次函数的解析式. 解 ∵二次函数的图像与x轴的两个交点为 A(-1, 0), B(3, 0),
∴设所求的二次函数的解析式为y=a(x+ 1)(x-3)(a≠0).
∵函数图像经过点C(4, -5), ∴-5=a×5×1, ∴a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3), 即 y=-x2+2x+3.例题5 已知一个二次函数的图像经过点 A(-1, 3), B(3, 3), C(2, 6), 求该二次函数的解析式. 解 ∵二次函数的图像经过点A(-1, 3), B(3, 3),
∴二次函数图像的对称轴为直线x=1,
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k(a≠0).
将A(-1, 3), C(2, 6)代入函数解析式, 得 3=4a+k, 6=a+k,
解得 a=-1, k=7.
∴二次函数的解析式为y=-(x-1)2+7, 即y= -x2+2x+6.锦囊妙计
确定二次函数解析式的三种方法
(1)一般式：若已知抛物线上三个普通点的 坐标, 可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求二次函 数的解析式；(2)顶点式：若已知抛物线的顶点坐标(对 称轴和最值), 可设顶点式y=a(x-h)2+k
(a≠0)来 求二次函数的解析式；(3)交点式：若已知抛物线与x轴的两个交 点的横坐标, 可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 来求二次函数的解析式.题型四 利用抛物线的对称性解题例题6 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴为直线x=________, x=2对应的函数值y=_________. 1-8 (-2, 0)题型五 系数相关的两函数图像的推断 C 分析锦囊妙计
平面直角坐标系中的双图像问题
在同一平面直角坐标系中, 推断系数相关 的两函数图像时, 有两种方法：一种是先利用 其中一个较简单的函数图像, 确定系数的取值 范围, 再用另一个较复杂的函数图像来验证, 从 而找出答案；另一种是利用系数的取值范围不 同, 进行分类讨论, 得出答案.题型六 求二次函数的最值例题9 已知函数y=x2-2x-3, 当自变量x分别 在下列取值范围内时, 求函数的最大值和最小值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3. 分析 首先确定二次函数的图像的对称轴, 然 后根据对称轴的位置及自变量的取值范围确定函 数的最值.解 由y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 得图像的对称轴 为直线x=1.
(1)∵a=1＞0, ∴图像的开口向上, ∴当x=1时, 函数有最小值-4, 无最大值.
(2)∵a=1＞0, 对称轴为直线x=1, ∴当x＞1时y 随着x的增大而增大,
∴当x=2时函数有最小值22-2×2-3=-3, 当x=3时函数有最大值32-2×3-3=0. 锦囊妙计
确定二次函数最大(小)值的方法
求二次函数的最大(小)值时, 如果所给自变 量的取值范围包含顶点的横坐标, 那么函数的 最大(小)值为顶点的纵坐标；如果所给自变量 的取值范围不包含顶点的横坐标, 那么要先确 定函数在自变量取值范围内的增减性, 再利用 函数的增减性确定函数的最大(小)值.题型七 二次函数与几何综合题锦囊妙计
动态几何问题
在确定图形中变量之间的数量关系时, 常 建立函数模型或不等式模型求解；在确定图形 之间的位置关系或求特殊值时, 常建立方程模 型求解.题型八 二次函数的综合探究问题分析 (1)由A, B, C三点的坐标, 利用待定系数 法可求得二次函数的解析式； (2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上, 则可求得点P的纵坐标, 将其代入抛物线的函数解 析式可求得点P的横坐标；
(3)过点P作PE⊥x轴, 交x轴于点E, 交直线BC 于点F, 用点P的坐标可表示出PF的长, 则可表示出 △PBC的面积, 利用二次函数的性质可求得△PBC 的面积的最大值及此时点P的坐标． 锦囊妙计
解决二次函数与其他知识的 综合性问题的一般思路
将函数知识与方程、几何知识有机地结合 在一起的问题一般难度较大．解这类问题的关 键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二 次函数的知识, 将函数问题转化为方程问题, 并 注意挖掘题目中的一些隐含条件．
谢 谢 观 看！课件25张PPT。第二十二章 二次函数22.2 二次函数与一元二次方程第二十二章 二次函数22.2 二次函数与一元二次方程考场对接 题型一 判断二次函数的图像与x轴的交点情况 例题1 下列对二次函数y=ax2-2ax+1(a>1) 的图像与x轴的交点的判断, 正确的是( ).
A．没有交点
B．只有一个交点, 且它位于y轴右侧
C．有两个交点, 且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点, 且它们均位于y轴右侧 D锦囊妙计
判断二次函数的图像与x轴的交点情况
判断二次函数的图像与x轴的交点个数的 关键是计算b2-4ac的值, 然后与0进行比较. 如 果二次函数的图像与x轴有两个交点, 要判断这 两个交点在y轴的同侧还是异侧, 应计算这两个 交点的横坐标的和与积, 并判断和与积的符号, 可以通过相应一元二次方程根与系数的关系进 行判断. 题型二 根据交点的个数求系数中未知字母的值 例题2 已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
(1)求证：不论m为何值, 该函数的图像都经过y轴 上的一个定点； (2)若该函数的图像与x轴只有一个交点, 求m 的值. 解 (1)证明：当x=0时, y=1, 所以不论m为何 值, 函数y=mx2-6x+1的图像都经过y轴上的一个定 点(0, 1).
(2)当m=0时, 函数为一次函数y=-6x+1, 其图像 与x轴只有一个交点； 当m≠0时, 函数y=mx2-6x+1是二次函数, 若 二次函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点, 则一元二次方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根, 所以Δ=(-6)2-4m=0, 解得m=9. 综上所述, 若函 数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点, 则m的 值为0或9.锦囊妙计
根据交点的个数求系数中未知字母的值
利用抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的 值或取值范围, 进而确定系数中未知字母的值或取 值范围.题型三 根据二次函数的图像求一元二次不等式的解集 -1利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集
(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 x轴有两个交点, 分别是(x1, 0), (x2, 0), 且x10, 则当xx2时, y>0, 当 x10, 当 xx2时, y<0.
(2)利用函数图像求一元二次不等式的解集时, 要先观察图像, 找出抛物线与x轴的交点, 再 根据交点的横坐标及图像写出不等式的解集. 题型四 根据图像(或表格)确定一元二次方程的根 解 由图可知函数图像过点(3, 0), 且对称轴为直线x=1,
∴函数图像与x轴的另一个交点为(-1, 0),
∴相应的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为x1=-1, x2=3.锦囊妙计
二次函数与一元二次方程的关系
(1)“数”的方面：当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时, 相应的自变量的值为一元二 次方程ax2+bx+c=0的解.
(2)“形”的方面：二次函数y=ax2+bx+c与x 轴的交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.题型五 利用抛物线与x轴的交点解决问题 D5锦囊妙计
求抛物线与x轴的交点坐标的方法
求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 时, 只需令函数值y为0, 得到一元二次方程 ax2+bx+c=0, 然后解方程即可.题型六 二次函数与一次函数的综合解 (1)把A(1, 0)代入y=x+m, 得0=1+m, 解得m=-1.
把A(1, 0), B(3, 2)分别代入y=x2+bx+c, 得0=1+b+c, 2=9+3b+c,
解得b=-3, c=2, ∴抛物线的函数解析式为y=x2-3x+2.
(2)由函数图像可知, 不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3.
(3)将M(a, y1), N(a+1, y2)分别代入y=x2-3x+2, 得y1=a2-3a+2, y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a, 则y1-y2=a2-3a+2-(a2-a)=2-2a．
①当2-2a＞0, 即a＜1时, y1＞y2.
②当2-2a=0, 即a=1时, y1=y2；
③当2-2a＜0, 即a＞1时, y1＜y2.
故当a＜1时, y1＞y2； 当a=1时, y1=y2； 当a＞1时, y1＜y2.锦囊妙计
比较二次函数值的大小
比较两个二次函数值的大小时, 如果两点 在对称轴的同侧, 可以利用二次函数的增减性 比较大小；若无法确定这两点是否在对称轴的 同侧, 可以把两点的横坐标代入二次函数的解 析式, 利用作差法比较函数值的大小.
谢 谢 观 看！课件26张PPT。第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数 考场对接 题型一 利用二次函数解决面积最大(小)值问题分析 设小正方形的边长为x米. 解 设铺矩形广场地面的总费用为y元, 广场四角的小正方形的边长为x米, 则 y=30×[4x2+(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)], 即y=80x2-3600x+240 000,
配方, 得y=80(x-22.5)2+199 500,
即当x=22.5时, y的值最小, 最小值为199 500.
∴当广场四角的小正方形的边长为22.5米时, 铺广场地面的总费用最少, 最少费用为199 500元. 锦囊妙计
运用二次函数解决面积的最值问题
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关公 式列出二次函数的解析式；(2)把函数解析式转 化为二次函数的顶点式的形式；(3)根据二次函 数自变量的取值范围求二次函数的最大值或最 小值. 若自变量的取值范围包含顶点的横坐标, 则最值为顶点的纵坐标；若自变量的取值范围不 含顶点的横坐标, 则应根据函数的增减性确定最值.分析 锦囊妙计
求面积最大(小)值问题, 常以三角形、四边 形、圆等基本图形为背景, 以某条变化的线段 的长度为自变量, 构建二次函数模型求解.题型二 利用二次函数解决最大利润问题例题2 某宾馆客房部有60个房间供游客居 住, 当每个房间的定价为每天200元时, 房间可以住 满；当每个房间每天的定价每增加10元时, 就会有 一个房间空闲. 对有游客入住的房间, 宾馆需对每 个房间每天支出20元的各种费用.设 每个房间每天的定价增加x元. (1)求房间每天的入住量y(间)关 于x(元)的函数解析式；
(2)求该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的 函数解析式；
(3)求该宾馆客房部每天的利润w(元)关于 x(元)的函数解析式, 并求当每个房间的定价为每天 多少元时, w有最大值, 最大值是多少. (注：以上所求函数解析式均不要求写自变量 的取值范围)锦囊妙计
二次函数与利润最大问题
(1)调整价格分涨价和降价.
(2)总利润=单件商品的利润×销售量.
(3)商品价格上涨, 销售量会随之下降；商品 价格下降, 销售量会随之增加. 两种情况都会导 致利润的变化. 题型三 利用二次函数解决拱桥类问题锦囊妙计
用二次函数解决抛物线形问题
(1)建立恰当的平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标, 正确写出 关键点的坐标；
(3)合理地设出函数解析式；
(4)将点的坐标代入函数解析式, 求出解析式；
(5)利用解析式求解. 在解题过程中要充分利用抛物线的对称性, 同时要注意对数形结合思想的应用. 题型四 二次函数与一次函数的综合应用题锦囊妙计
函数的综合问题
解答有关函数综合问题的关键是求出相关函 数的解析式. 在解题过程中, 应先从函数图像中获 取某些点的坐标, 然后根据点的坐标特征设出函 数解析式, 再用待定系数法求解．
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