北师大版九年级上册数学第七讲一元二次方程与解法（二）（教案）

一元二次方程与解法（二）
适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数关系
教学目标 掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法熟练掌握一元二次方程的根与系数关系 体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法
教学重点 求根公式的推导，公式的正确使用 使学生能够熟练而准确的运用公式法，因式分解法求一元二次方程的解 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验
教学难点 公式法的准确运用 将整理成一般形式的方程左边因式分解 一元二次方程的根与系数关系
教学过程
一、复习预习
上节课我们学习了一元二次方程的定义及解法，接下来请同学们回忆一下：
一元二次方程： 只含有_____个未知数，未知数的最高次数是____，且二次项系数____，这样的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_______________。
例如，（1） （2） （3）
2.一元二次方程的解法有_________法、_________法，
解方程 ．
解： 　，
，

∴， .
本节课还要学习的公式法，因式分解法。
知识讲解
1．公式法解一元二次方程：公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推导过程教师板书）
的求根公式为
2.因式分解法解一元二次方程：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
3.一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“”来表示，即。
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根。
反之，
若方程有两个不相等的实数根，则；
若方程有两个相等的实数根，则；
若无实数根，则。
4.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5. 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1） （2）
（3）；
（4）││==
考点/易错点1
使用判别式之前一定要先把一元二次方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
考点/易错点2
根的判别式的使用条件是在一元二次方程中，而非别的方程中。因此，解题过程中要注意隐含条件。
考点/易错点3
对于一元二次方程而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
考点/易错点4
根据一元二次方程的特点，如何灵活选用最合适的解方程的方法：首先考虑是否满足直接开平方法的条件，其次观察项数，考虑能否用因式分解法，用哪一种因式分解法，最后考虑公式法和配方法。
三、例题精析
【例题1】
【题干】利用公式法解方程
【答案】
【解析】解：∵
∴
∴
∴，
【变式练习】
【题干】用公式法解方程
【答案】 解：∵ ，
∴
代入求根公式，得

【例题2】
【题干】因式分解法解方程
【答案】
【解析】解：原方程可化为

∴ ，或
∴
【变式练习】
【题干】解方程
【答案】
【解析】解：原方程可化为

∴ ，或
∴

【例题3】
【题干】解一元二次方程：
【答案】解：设
原方程化为：，
解得：
即
所以
【解析】换元法解一元二次方程的能力。观察方程由方程特点设，然后整理原方程求解。换元法解方程可将方程化繁为简，化难为易，是解方程的常用方法之一。换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点.
【例题4】
【题干】下列四个结论中，正确的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】此题属于不解一元二次方程，判断（证明）根的情况类型的题目。
把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得：，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时， ，原方程有2个不相等的实数根，选项正确.

【例题5】
【题干】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤ k ＜ D．﹣≤ k ＜且k ≠0
【答案】D
【解析】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视这一符号条件下的不等关系而错选为B．
由题意，得解得－≤ k＜且k ≠0．
【例题6】
【题干】已知m 、n是方程的两根，则代数式的值为
A． 9 B． C． 3 D．5
【答案】C
【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、的化简.根据一元二次方程根与系数的关系得：，.
==
【例题7】
【题干】如果是方程的两个根，那么的值为：
A．－1 B．2 C． D.
【答案】B
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是， 两根之积是，易求出两根之和是2.
四、课堂运用
【基础】
1.方程的解是 （ ）
A. B. C.或 D. 或
【答案】D
【解析】用因式分解法解一元二次方程的步骤是，把右边的式子移到左边，然后另每一个因式为0.
2.解方程
【答案】解：∵
∴
∴
∴
【解析】此题答案用的公式法，也可以用因式分解法，比较简单
解方程
【答案】解：
∴ ，或
∴
【解析】选择因式分解法较简单
4.解方程
【答案】解：
∴ ，或
∴
【解析】选择直接开平方法较简单
5.若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。
∴m的取值范围是m≤1。
6.已知一元二次方程：的两个根分别是、则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系。ax2+bx+c=0(a≠0)， x1+x2=, x1x2=
,
【巩固】
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D
【解析】中，a=1，b=2，c=2，
△。
无实数根。
2.用适当的方法解下列方程
（1）；
解：
∴ ，或
∴
（2）；
解：原方程可化简为

∴ ，或
∴
（3）
解：
∴ ，或
∴
（4）
解：∵
∴
∴
∴
【拔高】
1. 若，，则的值为 。
【答案】
【解析】将两个式子相加得，


设，则有
解一元二次方程，

即：

2. 如果，那么代数式的值。
【答案】-6
【解析】由可得，


3.已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。
【答案】
解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2= －（m+3），x1?x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1?x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1?x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。



课程小结
公式法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系
课后作业
【基础】
1. 如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 。
【答案】 c＞9。
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9。
2. 方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． k≥1 B． k≤1
C． k>1 D． k<1
【答案】D
【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系（根的判别式），当b2-4ac≥时，一元二次方程有两个相等的实数根，同时不要忽略二次项系数不等于零及二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）。方程有两个实数根，所以k-1≠0且，1-k≥0,，k≠1且k≤1,所以k <1.
3. 已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是
A. a =–3,b =1 B. a =3,b =1
C. a = –,b = –1 D. a = –,b =1
【答案】D
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。
x1+x2= –2a=3,a= –; x1x2=b=1
4.已知的两根，则 .
【答案】
【解析】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题的关键是利用根与系数的关系整体代入化简后的待求式. 因为m和n是方程2x2-5x-3=0得，m+n=，m n= -，所以==.


【巩固】
1. 在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】 A
【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y＝x＋1和y＝得，x＋1＝，整理，得
x 2＋x－1＝0。
∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0有两不相等的实数根。
∴直线y＝x＋1与双曲线y＝有两个交点。故选A。
2.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为.
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值.
【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴，
解之，得：.
（2）由韦达定理，得：，
∴，
解之，得：.
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用．需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即△≥0。
（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式所表示出及，代入即可求出m的值。
3.设，是方程的两个不相等的实数根，的值 ．
【答案】2012
【解析】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法．
解：因为，是方程的两个不相等的实数根，故由韦达定理得+=-1①，由根的定义得，即②．再由①+②得．
【拔高】
1. 如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
【答案】
解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．
∴ x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．
∴ 所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．
（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5．
∴＋＝＝＝＝－47．
② 当a＝b时，＋＝1＋1＝2．
∴＋＝－47或2．
（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．
∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．
∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．
【解析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大．数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为学生铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查学生的学习能力，灵活应用能力，具有一定的区分度。
首先由材料知道如果一个一元二次方程的两根是x1，x2，那么这个方程可以表达为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，然后根据条件用含m，n的式子表示出x1＋x2，x1x2代入即可．
观察发现a，b可能相等，也可能不相等．当它们相等时，，的值都等于1；当它们不相等时，a，b可以理解为是关于x的方程x2－15x－5＝0的两个根，然后对＋通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解．
由a＋b＋c＝0，abc＝16，得a＋b＝－c，ab＝，构造以a，b为根的一元二次方程，然后利用根的判别式△≥0构造不等关系求解。
2. 设，且，则=________。【答案】 －32
【解析】本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式。解题关键是注意1-ab2≠0的运用。
因为，∴，
化简得=0。若，即，
则，这与已知条件相矛盾，
∴。∴=0，即。
∴。







错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业











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