北师大版数学八上2.7二次根式教案（教师版）

二次根式
适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1平方根，算术平方根，立方根 2.最简二次根式的概念 2. 二次根式的乘除 3.二次根式的加减
教学目标 理解二次根式的乘法法则并会逆向应用，灵活掌握并能运用二次根式乘法法则并进行相关计算 了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 3.经过观察、比较、总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。 4.通过本节课的学习，培养学生利用概念解题的严谨性和科学精神。
教学重点 ＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它们的运用． 二次根式乘除法的规定及其运用
教学难点 发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0） 利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式



教学过程
复习预习

考试中的注意事项：
1.考试成功的标志有两条：一是，只要将自己的水平正常发挥出来了，就是一次成功的考试。二是，不要横向与其他同学比，要纵向自己与自己比。
2.确定考试目标：第一要保证不考砸。第二要正常发挥。
3.第一轮答题要敢于放弃，“会答的先答，不会答的后答”，迅速调动脑子运转，刺激大脑达到最高转速。
4.敢于休息30秒：“磨刀不误砍柴工”，敢于休息30秒也是心理状态提升的体现。
5.第二轮查缺补漏：实践和理论都证实，做过第一轮后仍旧会有能解出来的题。那么这时如第一轮所述，一看这题会，就答。一看这题不会，就不答。一看这题会，答的中间卡壳了，就放。这样从前做到最后一道题，接下来要再次敢于休息30秒。
6.第三轮换思路解题：看看哪题能攻下来攻哪题，哪点能拿下来拿哪点。想想它是出自哪章哪节？老师想考哪个知识点？各点之间是什么关系??这时要放飞你的记忆能力、领悟能力、多向联想能力、逆向思维能力、发散思维能力、创新能力等，多方位、多角度、多层次地思考。这时新的思路就有可能被打开，兴奋点就可能被激活，灵感的火花就可能如年三十的礼花一样在空中绽放。
7.变三轮解题法为自定理：没有多次的实践是不能掌握这样一种全新的方法的。经过实践—总结—再实践—再总结循环往复，什么时候形成一套你自己得心应手运用自如的分轮次解题法，这时你才是真正掌握了三轮解题法。


二、知识讲解
1.平方根：如果,那么x就叫做a的平方根（也叫a的二次方根）。正数a的平方根有两个，即，它们互为相反数；零的平方根是零；在实数范围内负数没有平方根。?
2.算术平方根：正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作，零的算术平方根是零，由算术平方根的概念可以得出：；
3.立方根：如果x的的立方根等于a，即，那么x就叫做a的立方根，(或a的三次方根)，记作??
4.二次根式：式子叫做二次根式。??
5.最简二次方根式：最简二次方根是指满足下列条件的二次根式
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式。
6.二次根式的主要性质： 是一个非负数

考点/易错点1
在取值范围上只考虑二次根式,不考虑分母?
考点/易错点2
平方根与算术平方根的概念相混淆?
考点/易错点3
不会把非负因式移到根号里面
考点/易错点4
不会比较根式的大小
考点/易错点5
不会利用二次根式的非负性

考点/易错点6
对最简二次根式的条件掌握不牢?
三、例题精析
【例题1】
【题干】求下列各数的平方根与算术平方根（ ）
A.36 B. C. D.41
【答案】A.
36的平方根为，即
36的算术平方根为6，即
B.
的平方根为，即
的算术平方根为，即
C.
的平方根为，即
的算术平方根为5，即
D.
41的平方根为
41的算术平方根为
【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．
【变式练习】
【题干】计算：（1） （2）
【答案】（1）

（2）

【解析】表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，了解、的意义是解答本题的关键
【例题2】
【题干】如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数?
【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3
3a-5=4
这个数为
【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
【变式练习】
【题干】x为何值时，下列各式有意义。
A. B. C. D.
【答案】解：A.，即时，有意义
B.且，即时，有意义
C.，即时，有意义
D.，即x为任意数时，都有意义
【解析】只有正数才有算术平方根，所以中
【例题3】
【题干】求的整数部分的值
【答案】解
即
的整数部分是5
【解析】解决此类问题的方法是思考处在哪两个完全平方数之间.
【例题4】
【题干】已知和互为相反数，求
【答案】解：和互为相反数
和互为相反数


【解析】和互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x互为相反数
【例题5】
【题干】实数0.5的算术平方根等于（ ）.
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.
【例题6】
【题干】的算术平方根是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】D
【解析】解析：因为 ，所以的算术平方根就是4的算术平方根，4的算术平方根为2.
【例题7】
【题干】下列运算正确的是（　　）
　 A． x6+x2=x3 B．
　 C． （x+2y）2=x2+2xy+4y2 D．
【答案】解：A、本选项不能合并，错误；
B、=﹣2，本选项错误；
C、（x+2y）2=x2+4xy+4y2，本选项错误；
D、﹣=3﹣2=，本选项正确．
故选D
【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【例题8】
【题干】计算的结果是（　　）
A. B. C. D..
【答案】B
【解析】＝



四、课堂运用
【基础】
1.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1
【答案】B
【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.
2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）
　 A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
【答案】D
解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．
【解析】代数式有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．
3.要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
　 A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】D
解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
4. 下列计算正确的是（　　）
　 A． 4 B． C． 2= D． 3
【答案】C
【解析】 A、4﹣3=，原式计算错误，故本选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2=，计算正确，故本选项正确；
D、3+2≠5，原式计算错误，故本选项错误；
根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
5. 若，则＝
【答案】6
【解析】原方程变为：，所以，，由得：
＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6
【巩固】
计算 结果是 。
【答案】
【解析】原式＝
2. 化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．
【答案】
解：（﹣）﹣﹣|﹣3|
=﹣3﹣2﹣（3﹣），
=﹣6．
故答案为：﹣6．
【解析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．


若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【解析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
4. 计算：=　 　．
【答案】
解：原式=2﹣+
=．
故答案为：．
【解析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
计算：= ．
【答案】
解：原式==.
【解析】此题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
【拔高】
无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　．
【答案】
m≥9
解：由题意，得
x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，
则（x﹣3）2≥9﹣m．
∵（x﹣3）2≥0，
∴9﹣m≤0，
∴m≥9，
【解析】二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m的取值范围．
2.若实数、满足，则________.
【答案】1
【解析】由绝对值及二次根式的意义，可得：，所以，1
3.先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
【答案】
解：
（1），
验证：=；

（2）（n为正整数）．
【解析】（1）从三个式子中共同发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前两个分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
课程小结
1.平方根，算术平方根，立方根
2.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的性质
4.二次根式的加减乘除运算
课后作业
【基础】
化简：=　 　．
【答案】 .
【解析】==．
2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】 x≥2
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
【解析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
3.计算
【答案】解：原式=8﹣18+3﹣2，
=1﹣10．
【解析】先把各二次根式化为最简形式，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可
4.计算

【答案】 解：原式=﹣?
=﹣?
=﹣
=0．
【解析】先把括号内通分和除法转化为乘法得到
原式=﹣?，然后约分后合并即可．
已知a是2的算术平方根，求的正整数解．
【答案】 解：∵a是2的算术平方根，
∴a=，
∴x﹣＜2，
x＜3，
解得x＜3，
∵x是正整数，
∴x=1或2．
【解析】 根据算术平方根的定义表示出a，然后解关于x的一元一次不等式，再根据x是正整数解答
【巩固】
已知实数，满足，则代数式= .
【答案】 解：，，且，
，，
解得，

【解析】 和都是非负数，根据两个非负数的和为0，只有这两个非负数都为0，求x、y的值．
2.下列各式的计算中，正确的是（　　）
　 A． B．
　 C． D．
【答案】解：A、、没有意义，故本选项错误；
B、=5，运算错误，故本选项错误；
C、==×=9，故本选项正确；
D、3=3×=，运算错误，故本选项错误．
故选C．
【解析】根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．

3.a，b两数满足b＜0＜a且|b|＞|a|，则下列各式中，有意义的是（　　）
　 A． B． C． D．
【答案】解：∵b＜0＜a且|b|＞|a|，
∴a+b＜0，b﹣a＜0，a﹣b＞0，ab＜0，
∴各式中，有意义的是．
故选C．
【解析】根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义即可作出选择．

4.计算：．
【答案】解：=4×÷5=3÷5=3×=；
【解析】先把二次根式化到最简，再按二次根式的乘除法的法则进行计算即可求出答案；

5.计算
【答案】
解 原式=2b×+×a﹣（4a×+3）
=2+3﹣4﹣3
=
【解析】先将二次根式化为最简，然后去括号合并同类二次根式即可得出答案


【拔高】
1.已知 是正整数，则满足条件的最小正整数n（??）??
?A．0? B．-5? C．1? D．5?
【答案】B
【解析】 ∵，且是正整数
是正整数，即-5n是完全平方数
n的最小整数值是-5
2.若，则的值是（ ）
A.-2 B.2 C. D.
【答案】 解： 根据题意得

解得，x=2，
y=-1

故选C
【解析】 根据二次根式的性质和意义，被开方数大于等于0，求得x、y的值，然后将其代入所求的代数式求值即可.


错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业











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