北师大版七年级上册数学2.6有理数加减教案

有理数加减运算
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1.有理数的加法法则2.有理数的加法运算律3.有理数的减法法则 4.有理数加减法运算中的转换思想
教学目标 1.使学生了解有理数加减法的意义 2.使学生理解有理数加减法的法则，能熟练地进行有理数加减运算 3.使学生理解加法运算律在有理数加减运算中的作用，能运用加法运算律简化加减运算4.培养学生分析问题、解决问题的能力 5.培养学生计算能力,在算法优化过程中培养学生观察能力和思维能力
教学重点 有理数加减法运算法则及运算律
教学难点 灵活用运算律进行简便运算
教学过程
一、复习预习
在小学里，我们已经学过了正整数、正分数（包括正小数）及数0的四则运算.现在引入了负数，数的范围扩充到了有理数.那么，如何进行有理数的运算呢？现在我们来共同研究这个问题.
二、知识讲解
1. 一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向，所以我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.
(1) 若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是：
，即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图：

(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是：，即这位同学位于原来位置的西方50米处.
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：

写成算式是，即这位同学位于原来位置的西方10米处.
(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：（ ）
即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.
(5)第一次向西走了30米，第二次向东走30米.写成算式是： ( ).
(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：( ).
综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）一个数同0相加，仍得这个数.
2. 在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？
探索：任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○内，并比较两个算式的运算结果.
□ + ○ 和○ + □
任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个算式的运算结果。
( □ + ○ )+ ◇ 和□ +( ○ + ◇ )。
总结：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.即
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
即
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.
3. 我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法.
例如计算 (―8)―(―3)也就是求一个数?，使( ? )+(―3)=―8.根据有理数加法运算，有(―5)+(―3)=―8，所以 (―8)―(―3)=―5。①减法运算的结果得到了。
试一试：
再做一个填空：(―8)+( )=―5，容易得到(―8)+(+3)=―5。②比较①、②两式，我们发现：―8“减去―3”与“加上+3”结果是相等的.
概括：上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行.
有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数.
如果用字母表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：.
4. 在进行有理数加减混合运算时，可以灵活运用加法的运算律，可以使运算简便
（1）互为相反数的两个数，可以先加.
（2）几个数相加得整数时，可先相加.
（3）同分母的分数可先加.
（4）符号相同的数可先加.
考点/易错点1
应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事.
考点/易错点2
三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算.常见技巧有：
(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；
(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；
(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.
考点/易错点3
由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的.
考点/易错点4
有理数的加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便.但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换.
三、例题精析
【例题1】
【题干】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1） （2）
解：原式= 解：原式=
= =
=
（3） （4）
解：原式= 解：原式=
= =
【解析】进行有理数的加法运算，应注意先确定符号和绝对值两部分，先判断是什么样的两个有理数相加，然后按照有理数加法的三条法则来具体处理.
【例题2】
【题干】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
解：原式=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=
（3）
解：原式=
=
=
（4）
解：原式=
=
=
=
【解析】本题运用加法的交换律、结合律，使运算简便.具体技巧有以下几点：（1）若有小数，能凑整的先加.（2）同分母的分数或有倍数关系的分数可结合一起计算.（3）互为相反数的两个数，可把它们结合在一起.（4）先把正数、负数分别集中相加，再把所得的结果相加
【例题3】
【题干】列式并计算：与的和的绝对值的相反数与的和．
【答案】解：由题意得：




【解析】认真审题，看清题意，本题求得的是与的和的绝对值，而不是求绝对值的和，在去绝对值符号时要注意利用绝对值的定义化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数值是它的相反数．
【例题4】
【题干】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下（单位：千米）：
-4，+7，-9，+8，+6，-4，-3．
（1）求收工时检修小组距A地多远？
（2）距A地最远时是哪一次？
（3）若检修小组所乘汽车每千米耗油0.5升，则从出发到收工时共耗油多少升？
【答案】解：（1）-4+7+（-9）+8+6+（-4）+（-3）=1（千米）．
答：收工时检修小组在A地东面1千米处．
（2）第一次距A地|-4|=4千米；
第二次：|-4+7|=3千米；
第三次：|-4+7-9|=6千米；
第四次：|-4+7-9+8|=2千米；
第五次：|-4+7-9+8+6|=8千米；
第六次：|-4+7-9+8+6-4|=4千米；
第七次：|-4+7-9+8+6-4-3|=1千米．
所以距A地最远的是第5次．
（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-3|=41；
从出发到收工共耗油：41×0.5=20.5（升）．
答：从出发到收工共耗油20.5升．
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【例题5】
【题干】已知有理数+3，-8，-10，+12，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，这个最大值是_________．
【答案】解：（+3+12）-（-8-10）
=15+18
=33．
故答案是：33．
【解析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解当（+3+12）-（-8-10）时，计算的结果最大是关键．
【例题6】
【题干】已知两个数的和为，其中一个数为，求另一个数．
【答案】解：．
故另一个数是．
【解析】本题通过有理数的减法考查了加法各部分间的关系，是基础题型．
【例题7】
【题干】弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、-3、+4、-2、+13、-8、-7、-5、-2，工作人员整修跑道共走了多少路程？
【答案】解：|+10|+|-3|+|+4|+|-2|+|+13|+|-8|+|-7|+|-5|+|-2|，
=，
=54米．
【解析】本题考查了有理数的加法，这是基础，要熟练掌握．
四、课堂运用
【基础】
计算：
（1） =__________ （2）=_________
（3）=___________ （4）=___________
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】根据有理数的加法和减法法则分别计算即可．本题考查了有理数的加减混合运算，异分母的分数相加，先通分，再计算．
2. |x-1|+|3+y|=0，则y-x-的值是（　　）
A．-4 B．-2 C．-1 D．1
【答案】解：∵|x-1|+|3+y|=0，
∴x-1=0，3+y=0，
解得y=-3，x=1，
∴y-x-=-3-1-=-4．
故选A．
【解析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
3. 已知x．y，z三个有理数之和为0，若，y= ，则z=_________．
【答案】解：由题意得：，
将，y= ，代入得：z=-x-y==-3
故答案为：-3．
【解析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
解：原式=
=
（2）
解：原式=
=
=
【解析】（1）原式利用减法法则变形，相加即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形，相加即可得到结果．此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 计算:
(1)
(2)
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【解析】本题根据加法交换律、结合律，把互为相反数、同分母的分数、能凑整的、正数与负数分别相加，使运算简便.
6. 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +8 -9 +10 +4 -6 -2
（1）在第_______次纪录时距A地最远．
（2）求收工时距A地多远？
（3）若每km耗油0.3升，每升汽油需7.2元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？
【答案】解：（1）由题意得，第一次距A地|-3|=3千米；第二次距A地-3+8=5千米；第三次距A地|-3+8-9|=4千米；第四次距A地|-3+8-9+10|=6千米；第五次距A地|-3+8-9+10+4|=10千米；而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共8千米，所以在第五次纪录时距A地最远．故答案为：五．
（2）根据题意列式：
答：收工时距A地2km．
（3）根据题意得检修小组走的路程为：
|-3|+|+8|+|-9|+10|+|+4|+|-6|+|-2|=42（km）
42×0.3×7.2=90.72（元）
答：检修小组工作一天需汽油费90.72元．
【解析】（1）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；
（2）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；
（3）所有记录数的绝对值的和×0.3升，就是共耗油数．
此题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
【巩固】
1. 在1，-1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-3
【答案】解：∵在1，-1，-2这三个数中，只有1为正数，
∴1最大；
∵|-1|=1，|-2|=2，
1＜2，
∴-1＞-2，
∴任意两数之和的最大值是1+（-1）=0．
故选B．
【解析】考查有理数的比较及运算；得到三个有理数中2个较大的数是解决本题的突破点．
2. 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是________．

【答案】解：由图可知，左边盖住的整数数值是-2，-3，-4，-5；
右边盖住的整数数值是1，2，3，4；
所以他们的和是-4．
【解析】根据数轴的单位长度，判断墨迹盖住部分的整数，然后求出其和．
3. 计算
（1） （2）
【答案】（1）
解：原式=

=
（2）
解：原式



【解析】（1）运用加法结合律进行计算．（2）将分数化为小数后直接进行有理数的加减运算．
本题考查有理数的加法，注意先观察题目，看是否有简单的算法．
4. 实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A-C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是__________米．


A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米
【答案】解：由表中数据可知：A-C=90①，C-D=80②，D-E=60③，E-F=-50④，F-G=70⑤，G-B=-40⑥，①+②+③+…+⑥，得：（A-C）+（C-D）+（D-E）+（E-F）+（F-G）+（G-B）=A-B=90+80+60-50+70-40=210．∴观测点A相对观测点B的高度是210米．
【解析】认真审题可以发现：A比C高90米，C比D高80米，D比E高60米，F比E高50
米，F比G高70米，B比G高40米．然后转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可．此
题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死
学．
5. 计算：
【答案】解：原式=
=
=
=
=
【解析】有理数的加减运算有许多技巧，本例用到了列项求和.将一项拆成两项，看似复杂的计算变得简单.
6. 一名潜水员在水下方80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物垂死挣扎，立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃．
（1）求鲨鱼吃掉猎物时距水面的距离
（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？
【答案】解：（1）（-80）+（+25）+（-42）+（+10）
=-80+25-42+10
=-122+35
=-87．
即鲨鱼在水下方87米处吃掉猎物；
（2）（-80）+（25）-（-87）
=-80+25+87
=-80+112
=32．
∴鲨鱼向下游了32米．
【解析】（1）根据向上为正，向下为负列式，然后根据有理数的加减混合运算的方法进行运算即可；（2）先表示出鲨鱼开始时的位置，然后减去吃掉猎物时的位置，再根据有理数加减混合运算的方法进行计算，结果是正数则表示向下游，是表示负数则象上游．本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意并列出算式是解题的关键，熟练掌握混合运算的方法也很重要．
【拔高】
1. 计算：
【答案】解：原式=
=
=
=
【解析】本题考查有理数的混合运算，若直接进行计算本题会比较麻烦，所以在以后的解题过程中要学会观察．
2. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次
向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是_______个单位．
【答案】解：由题意可知，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，以此类推，第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位．
【解析】由题意可知，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，以此类推，找出规律可求．此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．

课程小结
1.掌握有理数加法和减法运算法则
2.会利用加法交换律和结合律进行简便运算
3.能把所学的知识应用到实际中去，灵活运用

课后作业
【基础】
1. 计算：
（1） （2）
【答案】（1）解：原式= （2）解：原式=
= =
=
【解析】（1）运用结合律进行计算．（2）将分数化为小数后直接进行有理数的加减运算．
本题考查有理数的加法，注意先观察题目，看是否有简单的算法．
2. 已知，，则=_______．
【答案】解：∵，∴，
又，则=．
【解析】绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数．熟练运用有理数的运算法则
本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练
运用到实际运算当中．
3. 下列说法正确的是（　　）
A．两个有理数相加，就是把它们的绝对值相加
B．两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减
C．两个一有理数相加，和可能小于其中的每一个加数
D．两个有理数相减，差一定小于被减数
【答案】解：A、两个有理数相加即这两个数的值相加，而不是它们的绝对值相加，故本选项错误；B、两个有理数相减即这两个数的值相减，而不是它们的绝对值相减，故本选项错误；C、两个一有理数相加，和可能小于其中的每一个加数，故本选项正确；D、当一个有理数减去一个负数的时候差大于被减数，故本选项错误．故选C．
【解析】加上一个负数等于减上一个正数，减上一个负数等于加上一个正数，由此可得出答案．本题考查有理数的加减法，属于基础题，注意掌握有理数加法的定义及特点．
4. 两个有理数的和为a，这两个数的差为b，那么a，b的大小关系是（　　）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】解：两个有理数的和为，这两个数的差为b，那么，b的大小关系不能确定．
故选D．
【解析】不确定这两个有理数，就无法比较两个有理数和与差的大小关系．
5. 某校举办秋季运动会，七年级（1）班和七年级（2）班进行拔河比赛，比赛规定标志物红绸向某班方向移动2m或2m以上，该班就获胜．红绸先向（2）班移动0.2m，后又向（1）班移动0.5m，相持几秒后，红绸向（2）班移动0.8m，随后又向（1）班移动1.4m，在一片欢呼声中，红绸再向（1）班移动1.3m，裁判员一声哨响，比赛结束，请你用计算的方法说明最终获胜的是几班？
【答案】解：记向1班方向移动为正，向2班方向移动为负，
根据题意：-0.2+0.5-0.8+1.4+1.3=-1+3.2=2.2米．
∴说明红绸向1班方向移动2.2米，一班胜．
【解析】根据题意列出算式后，根据有理数的加减混合运算法则，计算后就可以判断哪一班获胜. 本题主要考查负数在实际生活中的意义，利用正负数表示一组具有相反意义的量．
6. 钟面上有1，2，3，…，11，12共12个数字．
（1）试在这些数前标上正，负号，使它们的和为0．
（2）在解题的过程中，你能总结什么规律？用文字叙述出来．
【答案】解：（1）-1-2-3-4-5+6-7-8-9+10+11+12；
（2）规律：先算出总和，再取半，在和为一半的数前加正号，其余的数前添负号．
【解析】本题考查了有理数的加减混合运算．认真审题，找出规律：5个正数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半，是解决此题的关键所在．

【巩固】
1. -7，-12，+2和的绝对值比它们的绝对值的和小（　　）
A．-38 B．-4 C．4 D．38
【答案】解：根据题意得：|-7|+|-12|+|2|-|-7-12+2|
=（7+12+2）-|-17|
=21-17
=4
故选C
【解析】本题考查了有理数的加减运算，正确列出算式是关键．
2. 某商店2013年四个季度的商品销售盈亏情况如下表所示（盈余为正）：
季度 第一 第二 第三 第四
盈亏额（单位：万元） 128.5 -140 -95.5 280
关于最终销售情况，下列说法中，正确的是（　　）
A．盈余644万元 B．亏本173万元
C．盈余173万元 D．亏本644万元
【答案】解：由题意得出：128.5+（-140）+（-95.5）+280=173（万元）．
故盈余173万元．
故选：C．
【解析】根据有理数的加减运算法则直接求出它们的和即可．
3. 小明做这样一道题“计算：|（-3）+■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于6，那么“■”表示的数是（　　）
A．3 B．-3 C．9 D．-3或9
【答案】 解：设这个数为，则

∴
∴
故选D．
【解析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项．考查了绝对值的运算．注意绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
4. 规定符号（，）表示，两个数中小的一个，符号表示，两个数中大的一个，求下列式子的值．

【答案】解：

【解析】此题考查了有理数的加减混合运算，以及有理数的大小比较，弄清题中的新定义是
解本题的关键．
5. 有十箱梨，每箱质量如下：（单位：千克）
51，53，46，49，52，45，47，50，53，48
你能较快算出它们的总质量吗？列式计算．
【答案】 解：50×10+[1+3+（-4）+（-1）+2+（-5）+（-3）+0+3+（-2）]
=500+（-6），
=494（千克）．
【解析】观察各数的特点，不难发现，都与50接近，超过的记“+”，不足的记“-”，相加即为超过或不足的总数，再加上50×10即可．此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．


6. 观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1
【答案】解：根据观察可得规律：结果等于中间数的平方．
∴．
【解析】观察可得规律：结果等于中间数的平方．解本题的关键在于根据给出的算式，找到规律，并应用到解题中．
【拔高】
1. 在1，2，3，…，2006，2007，2008前面任意添加“+”或“-”，并且按照顺序进行计算，那么这些数的和能否等于2008呢？
【答案】解：能．
=
=2008
【解析】因为2 008=4×502，所以可以考虑把2 008个数分成502组，每组4个数，并且其和都等于4．从1开始将相邻的4个数的前2个较小的数前面添加“-”，后2个较大的前面添加“+”即可．此题主要考查了有理数的加减混合运算，关键是注意观察，正确进行分组，然后再添加符号．
2. 计算：=___________
【答案】解：原式=
=
=
=
【解析】把四个数字结合在一起运算，不难发现，它们的结果相同，再乘以组数即可．要善于从式子中寻找规律并运用规律，从而使运算更加简便．
错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业


思考：还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?

你能发现什么？

很重要！









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