第三章 函数的应用 单元测试题（解析版）

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第三章函数的应用 单元测试
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．已知函数f(x)＝则该函数的零点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】C　[当x<0时，令x(x＋4)＝0，解得x＝－4；当x≥0时，令x(x－4)＝0，解得x＝0或4.综上，该函数的零点有3个．]
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(0,1)
C．(2，e) D．(3,4)
【答案】A　[f(1)＝ln 2－2＝lnf(2)＝ln 3－1＝ln >ln 1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1,2)．
3．函数f(x)＝xeq \s\up12()－x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B　[令f(x)＝0，可得xeq \s\up12()＝x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝xeq \s\up12()和指数函数y＝x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．]

4.已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
则，

5.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D
【答案】C　[二分法求函数零点时，其零点左右两侧的函数值符号相反，故选C.
6.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
【答案】C　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
7.函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则(　　)
A．k＝0 B．k＞0
C．0≤k＜1 D．k＜0
【答案】D　[在同一平面直角坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k的图象，如图所示．若f(x)有两个零点，则必有－k＞0，即k＜0.
]
8.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是(　　)
A．a<αC．α
【答案】C　[∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)

可知a，b必在α，β之间．故选C.]
9.已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
【答案】A　[∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而00.]
10.设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C　[因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
所以解得
所以f(x)＝
当x>0时，方程为x＝2，此时方程f(x)＝x只有1个解；
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，此时方程f(x)＝x有2个解．所以方程f(x)＝x共有3个解．]
二．填空题（共7小题，11-13每题4分，14-17每题6分，共36分）
11．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么


12.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.
【答案】3　[函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.]
13.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
【答案】　[令f(x)＝ln x－2＋x，则f(1)＝ln 1－2＋1<0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，
f＝ln －2＋＝ln －＝ln －ln ＝ln ＝ln ∴f·f(2)<0，∴下一个含根的区间是.]
14.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________.
【答案】(－2,0)　[∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，
又y＝x2＋x＝2－，
∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，
∴0<－a<2，∴－215.已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

【答案】【解析】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；
对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；
幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．
已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 . （6分）
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故答案为[–1，+∞）.

17.已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为 .（6分）
【解析】作出函数的图象，
以及直线，如图，

关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在时相切，，
由，解得（舍去），
所以的取值范围是.

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18.设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点.
【答案】　f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又m>1，所以f(m)<0，
所以f(0)·f(m)<0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
19.以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度




【答案】　f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1,2)内存在零点x0，填表为：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1,2) 1.5 ＋ 1
(1,1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1,1.25) 1.125 － 0.25
(1,125,1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.187 5.

20．已知函数f(x)是二次函数，且0和5是函数的两个零点，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值为12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数f(x)在x∈[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.
【答案】(1)∵f(x)是二次函数，且0和5是其两个零点，
∴可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)，
∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，
∴a＝2.
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝22－，开口向上，对称轴为x＝.
①当t＋1<，即t<时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8.
②当t>时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝2t2－10t.
③当t≤≤t＋1，即≤t≤时，f(x)在对称轴处取得最小值，∴g(t)＝f＝－.
综上所述，g(t)＝
21.已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为.（2）.
【解析】（1）因为，则
所以，
当时，函数为单调递增函数，所以，；
当时，函数是先减后增的函数，所以，，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）设，则方程，等价于有三个实数根，
此时，
①若，因为方程有三个不相等的实根，
故时，方程有两个不相等的实根，
时，方程有一个不相等的实根，
所以，解得，
不妨设，则，
所以，
所以的取值范围是；
②若，当时，方程的判别式小于，
不符合题意；
③若时，显然不合题意，
故的取值范围是.
22.已知在是恒有.
（1）若，求；
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数f(x)的解析式.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为对任意，有，
所以，
又由，得，即.
（2）因为对任意，有，
又因为有且只有一个实数，使得，
所以对任意，有，
在上式中令，有，
又因为，所以，故或
若，则，即，
但方程有两个不相等实根，与题设条件矛盾，故
若，则有，即，
此时有且仅有一个实数1.
综上所述，所求函数为 .

























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