1.1变化率与导数（导数的几何意义）学案

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学案 导数的几何意义
【教学目标】 ：
理解曲线的切线的含义.
2.理解导数的几何意义.
3.会求曲线在某点处以及过某点的切线方程.



类型一　求曲线的切线方程
例一：已知曲线y＝x3＋.
求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求斜率为4的曲线的切线方程；(3)求曲线过点P(2,4)的切线方程.





【方法总结】
若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.



类型二：求曲线的切点
例二：已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．








【方法总结】求曲线切点坐标的五个步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；
(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．



变式1.已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．






类型三：导数几何意义的综合应用
例三：已知曲线C:y=x2－2x+3,直线L:x－y－4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L的距离最短，并求出最短距离







例四.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．



导数的几何意义答案
例1解：(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)．即4x－y－4＝0.

(2)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x＝4，x0＝±2.切点为(2,4)或(－2，－)，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋＝4(x＋2)．即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.

(3)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x30＋)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－(x30＋)＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－x30＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－x30＋.即x30－3x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0.解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

例2：解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝x0＝4x0.根据题意得4x0＝8，x0＝2，分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，得y0＝8＋a＝1，得故所求切点为P(2,1)，a＝－7.

变式训练1解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.

(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.
整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x20＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
例3：解：设P（x0，y0）, ∵f/(x)=2x－2, ∴2 x0－2=1, 解得x0= ∴ y0= , ∴P到直线的d=
例4:解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，则解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，定值为6.
当堂检测：(1)A (2)D (3)0解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a2＝9，即a＝±3.
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