第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在 象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而
(2)当k＜0时，图象在 象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而 ．
(3)其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.21教育网
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2019年广西梧州市）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【考点】正比例函数的定义，反比例函数定义，二次函数定义，一次函数的定义
【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．
解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意，
B、y＝，是反比例函数，不合题意，
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意，
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
（2019年广西柳州市）反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】由反比例函数k＞0，函数经过一三象限即可求解，
解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的性质和图象是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西贺州市）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B． C．D．
（2019年河北省）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义
【分析】作轴于，延长交轴于，根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线
◆变式训练
（2019年湖北省武汉市）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6，②若x1＜0＜x2，则y1＞y2，③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2019年湖南省株洲市）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
（2019年浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y＝（常数是＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质
【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
解：∵D（5，3），
∴A（，3），C（5，），
∴B（，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
把D（5，3），B（，）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y＝x．
故答案为y＝x．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了矩形的性质．
◆变式训练
（2019年江苏省盐城市）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式，
（2）求△AOB的面积．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2019年湖南省岳阳市）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．
（1）求m的值．
（2）求k的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得，
（2）联立方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得k的取值范围．
解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），
∴m＝2×1＝2，
（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，
∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4k?（﹣2）＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的求法，此题难度不大．
◆变式训练
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2019年湖北省孝感市）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【考点】反比例函数的应用
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
◆变式训练
（2019年河北省）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围），
②当甲赶到排头位置时，求S头的值，在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
（2019年四川省泸州市）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
（2019年江苏省淮安市）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）.
A． B． C． D．
（2019年安徽省）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
（2019年广东省广州市）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2019年广西贺州市）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B． C． D．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
（2019年江苏省无锡市）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）
（2019年江苏省镇江市）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”）
（2019年四川省巴中市）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A、B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连结AD，已知AC＝1、BE＝1、S矩形BDOE＝4．则S△ACD＝ ．
（2019年吉林省）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式，
（2）当x＝4时，求y的值．
（2019年江苏省宿迁市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
选择题
（2019年浙江省温州市）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
（2019年贵州省毕节市）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
（2019年湖北省咸宁市）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
（2019年天津市）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2019年湖南省娄底市）将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（ ）
A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣1
（2019年湖南省娄底市）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
（2019年湖南省衡阳市）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
（2019年江苏省扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年江苏省无锡市）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
（2019年四川省凉山州）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
（2019年重庆市（a卷））如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
填空题
（2019年四川省达州市）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ ．
（2019年湖南省邵阳市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝（x＜0）的图象经过线段OA的中点B，则k＝ ．
（2019年广西玉林市）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ ．
（2019年贵州省毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数（k≠0）的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是_____.
（2019年辽宁省沈阳市）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
解答题
（2019年江苏省常州市）如图，在?OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值，
（2）求点D的坐标．
（2019年四川省宜宾市）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
（2019年四川省资阳市）如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）相交于点A，且OA=，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线BC的解析式及k的值；
（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．
（2019年山东省泰安市）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式，
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
（2019年湖南省常德市）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式，
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
（2019年辽宁省大连市）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式，
（2）若S△ACD＝，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
（2019年湖南省郴州市）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象，
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2，（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值，
③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值，
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ，
（2）当PQ＝3时，求t的值，
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值，若变化，请说明理由．
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在一、三象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
(2)当k＜0时，图象在二、四象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.21教育网
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2019年广西梧州市）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【考点】正比例函数的定义，反比例函数定义，二次函数定义，一次函数的定义
【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．
解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意，
B、y＝，是反比例函数，不合题意，
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意，
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
（2019年广西柳州市）反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】由反比例函数k＞0，函数经过一三象限即可求解，
解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的性质和图象是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西贺州市）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限，
若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（2019年河北省）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【考点】反比例函数的图象
【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解，
解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义
【分析】作轴于，延长交轴于，根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线
◆变式训练
（2019年湖北省武汉市）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6，②若x1＜0＜x2，则y1＞y2，③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题与定理
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．
∵△ACO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，正确，是真命题，
②∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，
若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题，
③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大．
（2019年湖南省株洲市）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．
解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△CDF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
（2019年浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y＝（常数是＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质
【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
解：∵D（5，3），
∴A（，3），C（5，），
∴B（，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
把D（5，3），B（，）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y＝x．
故答案为y＝x．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了矩形的性质．
◆变式训练
（2019年江苏省盐城市）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式，
（2）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式，
（2）根据题目中一次函数的解析式可以求得点A的坐标，再根据（1）中求得的点B的坐标，即可求得△AOB的面积．
解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m+1，得m＝1，
∴点B的坐标为（1，2），
∵点B（1，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴2＝，得k＝2，
即反比例函数的表达式是y＝，
（2）将x＝0代入y＝x+1，得y＝1，
则点A的坐标为（0，1），
∵点B的坐标为（1，2），
∴△AOB的面积是，．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2019年湖南省岳阳市）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．
（1）求m的值．
（2）求k的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得，
（2）联立方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得k的取值范围．
解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），
∴m＝2×1＝2，
（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，
∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4k?（﹣2）＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的求法，此题难度不大．
◆变式训练
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
【考点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据图象可解．
解：(1)∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点，
∴，
∴，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为；
(2)由图象可得：当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2019年湖北省孝感市）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【考点】反比例函数的应用
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
◆变式训练
（2019年河北省）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围），
②当甲赶到排头位置时，求S头的值，在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【考点】反比例函数的应用
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式，
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可，在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式，
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．
解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200，
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×＝400，
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
（2019年四川省泸州市）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．
解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标找出不等式的解集是解题的关键．
（2019年江苏省淮安市）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用
【分析】根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限，于是得到结论．
解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）.
A． B． C． D．
【考点】用待定系数法确定反比例函数的解析式
【分析】用待定系数法确定反比例函数的解析式，再验证选项中的点是否满足解析式即可，若满足函数解析式，则在函数图像上.
解：将点代入，
∴，
∴，
∴点在函数图象上，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法及根据解析式确定点在函数图形上，会求反比例函数的解析式是解题的关键.
（2019年安徽省）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【考点】反比例函数图像上点的坐标特征
【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.
解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，
故选：A.
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键.
（2019年广东省广州市）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图像上的点的坐标
【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，
得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
（2019年广西贺州市）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限，
若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】k＜0，y随x值的增大而增大，（﹣1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题，
解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
【点评】本题考查反比函数图象及性质，熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解题的关键．
（2019年江苏省无锡市）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）
【考点】一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
解：某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是，
故答案为：(答案不唯一).
【点睛】本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
（2019年江苏省镇江市）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】反比例函数y＝﹣的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．
解：∵反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在第二象限，
∴在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1
∴y1＜y2．
故答案为：＜
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大，由x的值变化得出y的值变化情况，也可以把x的值分别代入关系式求出y1、y2再作比较亦可．
（2019年四川省巴中市）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A、B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连结AD，已知AC＝1、BE＝1、S矩形BDOE＝4．则S△ACD＝ ．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据S矩形BDOE＝4，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出S△ACD．
解：过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图：
∵S矩形BDOE＝4，反比例函数y＝（x＞0）经过B点
∴k＝4
∴S矩形ACOH＝4，
∵AC＝1
∴OC＝4÷1＝4
∴CD＝OC﹣OD＝OC﹣BE＝4﹣1＝3
∴S矩形ACDF＝1×3＝3
∴S△ACD＝
故答案为：．
【点评】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键．
（2019年吉林省）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式，
（2）当x＝4时，求y的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，
（2）直接利用x＝4代入求出答案．
解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x＝2时，y＝6．
所以，k＝xy＝12，
所以，，
（2）当x＝4时，y＝3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
（2019年江苏省宿迁市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求的长，根据面积和可得结论．
解：（1）把，代入，得，，
∴，，
把，代入得
，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）时，，
∴，
∴的面积.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把两个函数关系式联立成方程组求解．
选择题
（2019年浙江省温州市）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【考点】反比例函数的应用
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
（2019年贵州省毕节市）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
解：∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
（2019年湖北省咸宁市）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，：反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B，再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．
解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称，
由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A、B错误，
∵n＞0，
∴m﹣n＜m，
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确
故选：D．
【点评】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【考点】正比例函数的性质，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断，通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的，
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的，
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础，多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
（2019年天津市）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图像和性质
【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可
解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
（2019年湖南省娄底市）将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（ ）
A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣1
【考点】反比例函数的图象，反比例函数的图象与几何变换
【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，
y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝，
由“上加下减”的原则可知，
函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
（2019年湖南省娄底市）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【考点】反比例函数系数k的几何意义，扇形面积的计算
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为180°，半径为2，
所以：S阴影＝＝2π．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．
（2019年湖南省衡阳市）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
（2019年江苏省扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据题意可知反比例函数的图象上的点关于y轴的对称的点在函数上，由此可知反比例函数的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.
解：∵反比例函数上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上，
∴反比例函数与一次函数y=-x+m有两个不同的交点，
联立得，消去y得：，
整理得：，
∵有两个不同的交点
∴有两个不相等的实数根，
∴△=m2-8＞0，
∴或，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.
（2019年江苏省无锡市）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义
【分析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.
解：设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，
∵S△ABO==2，
∴，
∴mn=-4，
又∵点A在反比例函数(<0)的图象上，
∴n=，
∴k=mn=-4，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.
（2019年四川省凉山州）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S＝|k|．
所以△ABC的面积等于2×|k|＝|k|＝4．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
（2019年重庆市（a卷））如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
填空题
（2019年四川省达州市）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】设出A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．
解：设A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则
CA＝﹣＝2，
∴，
得a＝
同理：BD＝，得b＝
又∵a﹣b＝3
∴﹣＝3
解得：k2﹣k1＝4
【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
（2019年湖南省邵阳市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝（x＜0）的图象经过线段OA的中点B，则k＝ ．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】已知A（﹣4，2），B是OA的中点，根据平行线等分线段定理可得点B的坐标，把B的坐标代入关系式可求k的值．
解：如图：∵AC∥BD，B是OA的中点，
∴OD＝DC
同理OF＝EF
∵A（﹣4，2）
∴AC＝2，OC＝4
∴OD＝CD＝2，BD＝OF＝EF＝1，
∴B（﹣2，1）代入y＝得：
∴k＝﹣2×1＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】考查平行线等分线段定理，点的坐标与相应线段的长度的相互转化等知识，求出点B坐标，代入求k的值是本题的基本方法．
（2019年广西玉林市）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，A、B的横坐标分别为1、4，代入方程求解得到k的值．
解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，
所以有
解得k＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，交点坐标适合两个解析式是解题的关键．
（2019年贵州省毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数（k≠0）的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是_____.
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移
【分析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE(AAS)，△CBF≌△BAO(AAS)，则可求D(5，1)，C(4，5)，确定函数解析式，C向左移动n个单位后为(4﹣n，5)，进而求n的值.
解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠DAE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE(AAS)，
∴AE＝BO，DE＝OA，
y＝﹣4x+4，当x=0时，y=4，
当y=0时，0=-4x+4，x=1，
∴A(1，0)，B(0，4)，
∴OA=1，OB=4，
∴OE=OA+AE=5，
∴D(5，1)，
∵顶点D在反比例函数上，
∴k＝5，
∴，
易证△CBF≌△BAO(AAS)，
∴CF＝4，BF＝1，
∴C(4，5)，
∵C向左移动n个单位后为(4﹣n，5)，
∴5(4﹣n)＝5，
∴n＝3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键.
（2019年辽宁省沈阳市）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】把点A（，2）代入y1＝k1x和y2＝（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B作BD∥x轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．
解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），
∴2＝k1，2＝，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝＝2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．
解答题
（2019年江苏省常州市）如图，在?OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值，
（2）求点D的坐标．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质
【分析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可，
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解，
解：（1）∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴A（2，2），
∴k＝4，
∴y＝，
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
∴AB⊥x轴，
∴B的横纵标为2，
∵点D是BC的中点，
∴D点的横坐标为1，
∴D（1，4），
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键．
（2019年四川省宜宾市）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得P、M的坐标，最后根据S五边形＝S△COD﹣S△APD﹣S△BCM，根据三角形的面积公式列式计算即可得解，
解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
∴S△OPA＝|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵在第一象限，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），
∴m＝＝2，
∴P（1，2），
∵次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（3，0），D（0，3），
解得或，
∴P（1，2），M（2，1），
∴PA＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，
∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
（2019年四川省资阳市）如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）相交于点A，且OA=，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线BC的解析式及k的值；
（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线y=x和OA=即可求得A的坐标，然后代入双曲线y=（x＞0）求得k的值；
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据S△AOB=S梯形AEFB+S△BOF-S△AOE=S梯形AEFB，求得即可．
解：（1）根据平移的性质，将直线y=x向左平移一个单位后得到y=x+1，
∴直线BC的解析式为y=x+1，
∵直线y=x与双曲线y=（x＞0）相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵OA=，
∴A（1，1），
k=1×1=1；
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
解得或
∴B（，），
∵S△AOB=S梯形AEFB+S△BOF-S△AOE=S梯形AEFB，
∴S△AOB=S梯形AEFB=（1+）（1-）=2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
（2019年山东省泰安市）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式，
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论，
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论，
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论，
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（2019年湖南省常德市）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式，
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可，
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
（2019年辽宁省大连市）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式，
（2）若S△ACD＝，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，即可求出函数解析式，
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据S△ACD＝，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数y＝，
答：反比例函数的关系式为：y＝，
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，连接AC，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k＝，
∴直线OA的关系式为y＝x，
∵点C（a，0），把x＝a代入y＝x，得：y＝a，把x＝a代入y＝，得：y＝，
∴B（a，），即BC═a，
D（a，），即CD＝
∵S△ACD＝，
∴CD?EC＝，即，解得：a＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝＝3，
答：线段BD的长为3．
【点评】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
（2019年湖南省郴州市）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象，
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2，（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值，
③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值，
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
【考点】分段函数，一次函数的图象，一次函数的性质，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】（1）描点连线即可，
（2）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2，C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2，
②当y＝2时，2＝|x﹣1|，则有x＝3或x＝﹣1，
③由图可知﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，当y3＝y4时x3+x4＝2，
④由图象可知，0＜a＜2，
解：（1）如图所示：
（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），
A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，
C（x1，），D（x2，6），
C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2，
故答案为＜，＜，
②当y＝2时，2＝﹣，∴x＝﹣（不符合），
当y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1，
③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，
∴﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，
∵y3＝y4，
∴x3+x4＝2，
④由图象可知，0＜a＜2，
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ，
（2）当PQ＝3时，求t的值，
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值，若变化，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围），
（2）将PQ＝3代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论，
（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD＝6，由CB∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC的值，由OF＝OD?cos∠OBC，DF＝OD?sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），
∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，
∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，
整理，得：5t2﹣16t+11＝0，
解得：t1＝1，t2＝．
（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB＝＝10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴＝＝＝，
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，
∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝6×＝，
∴点D的坐标为（，），
∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．
【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式，（2）通过解一元二次方程，求出当PQ＝3时t的值，（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移
【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可，
（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点，②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．
解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OC＝OB，
∵B（4，0），
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝2，AC＝2．
把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝，
（2）分两种情况讨论：
①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，
在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．
∴O′E＝3，
把y＝代入y＝，得x＝4，
∴OE＝4，
∴a＝OO′＝1，
②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，
在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．
把y＝代入y＝，得x＝4，
∴OH＝4，
∴a＝OO′＝3，
综上所述，a的值为1或3．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
