沪科版九年级上册第22章 相似形单元测试卷（解析版）

绝密★启用前
相似形单元测试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
一、单选题(每题4分共40分)
1．若，则的值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列各线段的长度成比例的是(　　)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
3．如图，已知，，，那么的长等于（ ）

A. B. C. D.
4．若===k，则k=（ ）
A.0 B. C.-1 D.或-1
5．如图，已知点是线段的黄金分割点，且.若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，则与的大小关系为( )

A． B． C． D．不能确定
6．如图，在△ABC与△ADE中， ，添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是(　　)

A. B.
C. D.
7．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．

A.2 B.4 C.6 D.8
8．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与图中的三角形相似的是（ ）．

A. B.
C. D.
9． 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点C的坐标为（6，0），则点D的坐标为（　　）

A．（3，6） B．（2，4.5） C．（2，6） D．（1.5，4.5）
10．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n.对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小. 其中会随点P的移动而变化的是(　　)

A.①② B.①③ C.②④ D.③④
第II卷（非选择题)
二、填空题(每题5分共20分)
11．已知＝4，＝9，是的比例中项，则＝____．
12．如图，点是的边上的一点，过点作一直线，把三角形分成两部分，使截得的三角形与原三角形相似，这种直线最多可作________条．

13．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝_____．

14．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH?PB；④．
其中正确的是____________．（写出所有正确结论的序号）


三、解答题（共9大题，满分90分)
15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．
求：的值．

16．如图，在中，是角平分线，点在上，且．

求证：：
已知，，求长．
17．在正方形ABCD中,E为BC的中点,F是CD上一点,且FC=试说明:AE⊥EF.

18．方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，解答问题：
（1）请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．
（2）写出点A′的坐标；
（3）求△OA′B'的面积．

19．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为的小木棒的影长为，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子，又测地面部分的影长，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？

20．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证： +=．

21．如图，四边形都是正方形．求证：（1）∽；（2）．

22．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．
请解答下列问题：
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？

23．在中，，，将绕点旋转角得，交于点，分别交、于、两点．
在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？证明你的结论；
当时，试判断四边形的形状，并说明理由；
在的情况下，求线段的长．

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接利用已知表示出x，y的值，进而代入计算得出答案．
【详解】
∵，
∴设x=5a，y=2a，
∴=．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
2．D
【解析】试题解析：选项A，由于2×8≠5×6，故此选项是错误的；
选项B，由于1×4≠2×3，故此选项是错误的；
选项C，由于3×9≠6×7，故此选项是错误的；
选项D，由于3×18=6×9，故此选项是正确的.
故选D.
3．B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，然后利用计算BE-BC即可．
【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC=9，
∴CE=BE-BC=15-9=6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．D
【解析】
【分析】
由===k可得，x=ky+kz①，y=kx+kz②，z=kx+ky③，然后把三个式子相加，整理可得x+y+z=2k(x+y+z)，然后分两种情况求解即可.
【详解】
由===k可得，
x=ky+kz①，y=kx+kz②，z=kx+ky③，
①+②+③得，
x+y+z =ky+kz+y=kx+kz+kx+ky③，
整理可得x+y+z=2k(x+y+z)，
当x+y+z=0时，
y+z=-x，
∴k=；
当x+y+z≠0时，
2k=1，
∴k=.
故选D.
【点睛】
本题考查比例的性质,运用整体思想是解决本题的关键,需要注意的是:由于x+y+z可能为0,因此求k的过程中,要分两种情况求解.
5．B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的概念和正方形的性质知：BC2=AB?AC，变形后求解即可．
【详解】
∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2=AB?AC，
∴S1= BC2= AB?AC=S2，
故选B.
【点睛】
此题主要是考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出三条线段的关系，再结合正方形的面积进行分析计算是解题关键．
6．B
【解析】
A选项：∵∠E=∠C，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；
B选项：∵∠B与∠D不是AE、DE以及AC、BC的夹角，∴不能证明△ADE∽△ABC；
C选项：∵，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；
D选项：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC.
故选B.
点睛：相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；
（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似.
7．B
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．
【详解】
解：根据题意，作△EFC；

树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；
∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°
∴∠ECD=∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有 ；即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故选：B．
【点睛】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
8．D
【解析】
设小正方形的边长为1，则图中的三角形是一个直角三角形，且两直角边分别为：.
A选项，由图可知这是一个钝角三角形，所以不能选A；
B选项，由图可知这是一个锐角三角形，所以不能选B；
C选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、3，和原直角三角形两直角边对应不成比例，所以不能选C；
D选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、4，和原直角三角形两直角边对应成比例，所以可以选D；
故选D.
9．C
【解析】
【分析】
根据位似变换的概念得到△OAB∽△ODC，根据题意求出相似比，计算即可．
【详解】
由题意得，△OAB与△ODC为位似图形，
∴△OAB∽△ODC，
由题意得，OB＝3，OC＝6，
∴△OAB与△ODC的相似比为1：2，
∴点D的坐标为（1×2，3×2），即（2，6），
故选C．
【点睛】
本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
10．C
【解析】
∵直线m∥n，∴点P到直线n的距离不变．
∵PA，PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化．
∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，∴△PAB的面积不变．
∵点P在直线m上移动，∴∠APB的大小随点P的移动而变化．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②④.
点睛：根据平行线间的距离不变从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据角的定义判断出④变化．
11．±6；
【解析】
试题解析：是的比例中项，

又

解得:
故答案为：
12．4
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定，过点P分别作BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠C相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【详解】
如图，①过点P作PD∥BC，PF∥AC，
则△APD、△BPF与△ABC相似，
②过点P作∠APE=∠C，∠BPG=∠C，
则△APE、△BPG与△ABC相似，
∴过点P最多可以作4条直线，使截得的三角形与原三角形相似，
故答案为：4．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，作出图形更加形象直观，有助于问题的理解.
13．
【解析】
【分析】
根据题意先证明出，再根据相似比的关系求出的值.
【详解】
，
，
，
，
又，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
14．①③④．
【解析】
试题分析：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，∵∠A=∠ADC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBC=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴，∵PB=CD，∴，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB?sin60°=4×=，PM=PC?sin30°=2，S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=，∴．故答案为：①③④．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．

15．
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
解：DF∥BE，
，
，
，
，
，
，
，
.，
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应线段是解题的关键．
16．(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
（1）若要证明：△DCE∽△BCA，则可转化为证明DE∥BA即可；
（2）由（1）可知：△DCE∽△BCA，所以，又因为AE=DE，所以＝，进而求出DE的长．
【详解】
证明：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，是中考中常见题型．
17．证明见解析.
【解析】
【分析】
连接AF，设FC=a，分别计算AF，EF，AE的值，根据三角形三边长和勾股定理的逆定理可以判定△AEF为直角三角形，即可证明AE⊥EF．
【详解】
证明：连接AF，

设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF=a，AE=2a从而由
（a）2+（2a）2=（5a）2
即EF2+AE2=AF2
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本题中判定△AEF为直角三角形是解题的关键．
18．（1）如图所示，△OA′B′即为所求．见解析；（2）点A′的坐标为（﹣6，﹣2）， （3）△OA′B'的面积为10．
【解析】
【分析】
（1）根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA′B′；
（2）根据三角形的位置得出点A′的坐标即可；
（3）根据△OA′B'的位置，运用割补法求得△OA′B'的面积即可．
【详解】
（1）如图所示，△OA′B′即为所求．

（2）由图知，点A′的坐标为（﹣6，﹣2），
（3）△OA′B'的面积为6×4﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝10
【点睛】
本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．能．旗杆的高度为．
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应线段成比例，列方程求解即可．
【详解】
∵高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，
∴实际高度和影长之比为，即，
∴落在墙上的CD=1，如果投射到地面上应该为0.6米，
即旗杆的实际影长为3+0.6=3.6米，
∴，
解得AB=6，
答：能．旗杆的高度为6.0m．
【点睛】
考查了相似三角形的应用，利用已知条件把墙上的部分转移到地面上．
20．见解析
【解析】
试题分析: 由平行线分线段成比例定理得出，，证出=1，即可得出结论．
试题解析:
证明：∵AC∥BD，EF∥BD，
∴，，
∴==1，
∴+=．
21．（1）见解析； （2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)可令正方形边长为1，则AD=，DH=2，计算，故，再因∠ADF=∠HDA，故可判断两三角形相似；
(2)由∽可得，再由AG∥BH可得∠AHD=∠GAH，故∠AFB+∠AHB=∠HAD+∠GAH=45°.
【详解】
(1)证明：
，
∴，
∴∽．
(2)证明：
∵∽，
∴，
∵AG∥BH，
∴∠AHD=∠GAH，
∴∠AFB+∠AHB=∠HAD+∠GAH=45°.
【点睛】
本题需要设出正方形的边长，利用具体比值证明对应边成比例，再由其夹角对应相等证明两三角形相似.
22．(1)当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形；(2)当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
【解析】
【分析】
(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.再由△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，列出方程12－2t＝4t，解得t值即可；（2）根据题意，可分△EFC∽△ACD和△FEC∽△ACD两种情况求t值即可.
【详解】
(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.
因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF，
所以12－2t＝4t，解得t＝2，
所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．
(2)根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则＝，
所以＝.解得t＝3，
即当t＝3时，△EFC∽△ACD.
②若△FEC∽△ACD，则＝，
所以＝.解得t＝1.2，
即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识点，解决第一问注意方程思想的运用，解决第二问注意分类讨论数学思想的运用.
23．（1）．理由见解析；四边形是菱形．理由见解析；．
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，然后利用“角边角”证明△ABE和△C1BF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，从而得解；
（2）先根据旋转的性质求出∠ABC1=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行求出AB∥C1D，AD∥BC1，证明四边形BC1DA是平行四边形，又因为邻边相等，所以四边形BC1DA是菱形；
（3）过点E作EG⊥AB于点G，等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=2，然后解直角三角形求出AE的长度，再利用DE=AD-AE计算即可得解．
【详解】
（1）．理由如下：
∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转角得，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
四边形是菱形．理由如下：
∵旋转角，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
过点作，

∵，
∴，
在中，，
由知，
∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，难度不大，利用好旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，找出相等的线段是解题的关键．
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页