2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）点关于轴对称点的坐标为　　
A． B． C． D．
2．（3分）我国重要银行的商标设计都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）等腰三角形的底角为，则它的顶角为　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算结果正确的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）下列说法中正确的是　　
A．角的角平分线是它的对称轴
B．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
C．线段的垂直平分线是它的对称轴
D．圆的直径是它的对称轴
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是　　
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条边的中线的交点
7．（3分）下列三角形：
①有两个角等于；
②有一个角等于的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有　　
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
8．（3分）在中，，是的平分线，，则图中等腰三角形的个数是　　
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）如图，在中，，是高，，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（3分）如图，等边和等边，其中、、三点共线，连接、、、，下列说法中：①平分；②；③；④．正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）等腰三角形的一个底角比顶角大，那么顶角度数为　　．
12．（3分）如图，在中，是的中垂线，，的周长为，则的周长为　 　．
13．（3分）若与关于轴对称，那么的值为　　．
14．（3分）如图，为等边内一点，且，，，则度数为　　．
15．（3分）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为　　．
16．（3分）在平面直角坐标系中有点和点，在轴上存在一点，满足的值最小，则点坐标为　　．
17．（3分）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角度数为　　．
18．（3分）若，，则　　．
19．（3分）如图，在中，，，，则的度数为　　．
20．（3分）如图，在中，，点在内部，，若，，则线段的长为　　．
三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．（7分）计算：
（1）
（2）
22．（7分）解方程或不等式：
（1）
（2）
23．（8分）如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，其中每一个小正方形的顶点叫做格点．按下列要求在网格内作图．
（1）在图1中作以为边的四边形，满足点、在格点上，且四边形为轴对称图形；
（2）在图2中作以为腰的等腰，满足点在格点上，且的面积为4．
24．（8分）已知中，平分，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求证：．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的点在轴上，点在轴上，点坐标为，其中，．
（1）求点、点的坐标；
（2）已知，点为坐标轴上一点，满足是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点坐标．
26．（10分）如图1，点、在直线上，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，延长、交于点，在直线上取点，连接、，若，，，求的值．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，的面积为．
（1）求点坐标；
（2）现在点处有一动点，在点处有一动点，两个动点同时沿轴以1个单位长度秒的速度向右作匀速运动．若点关于轴的对称点为，设两动点运动时间为，用含的式子来表示线段的长度，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，连接、，在第一象限内取点，连接、，满足，，过作轴交直线于点，当时，求值．

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）点关于轴对称点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标．
【解答】解：点关于轴对称点的坐标为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
2．（3分）我国重要银行的商标设计都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和的概念结合各图形特点解答即可．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项正确；
、是轴对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合．
3．（3分）等腰三角形的底角为，则它的顶角为　　
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：等腰三角形的底角为，
它的顶角，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（3分）下列计算结果正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，无法计算，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）下列说法中正确的是　　
A．角的角平分线是它的对称轴
B．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
C．线段的垂直平分线是它的对称轴
D．圆的直径是它的对称轴
【分析】利用角平分线的对称性、等腰三角形的对称性、线段的对称性及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、角的平分线所在直线是它的对称轴，故错误；
、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故错误；
、线段的垂直平分线是它的对称轴，正确；
、圆的直径所在的直线是它的对称轴，故错误，
故选：．
【点评】本题考查了角平分线、等腰三角形、线段及圆的对称性，解题的关键是能够了解有关图形的对称性，难度不大．
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是　　
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条边的中线的交点
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟记性质是解此题的关键．
7．（3分）下列三角形：
①有两个角等于；
②有一个角等于的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有　　
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选：．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．
8．（3分）在中，，是的平分线，，则图中等腰三角形的个数是　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】可先求得，再结合平行及角平分线的定义可得，可求得，可判定、、、和为等腰三角形，可得出答案．
【解答】解：，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，，
，
为等腰三角形，
平分，
，
，
，，
、为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
等腰三角形共有5个，
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键，注意三角形内角和定理及平行线的性质的应用．
9．（3分）如图，在中，，是高，，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】求出，根据含角的直角三角形性质得出，，代入求出即可．
【解答】解：是高，
，
，，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，含角的直角三角形性质的应用，能根据含角的直角三角形性质得出和是解此题的关键．
10．（3分）如图，等边和等边，其中、、三点共线，连接、、、，下列说法中：①平分；②；③；④．正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】作于，于．由，，以及即可一一判断；
【解答】解：作于，于．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
于，于．
，
平分，故①正确，
，，，
，
，，故③正确，
是等边三角形，
，
，故②正确，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）等腰三角形的一个底角比顶角大，那么顶角度数为　　．
【分析】设顶角的度数为，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．
【解答】解：设顶角的度数为，则底角的度数为．根据题意，
得，
解得．
故答案为：．
【点评】此题考查等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．
12．（3分）如图，在中，是的中垂线，，的周长为，则的周长为　28　．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：是的中垂线，
，
的周长，
又，
，
的周长．
故答案为：28．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．
13．（3分）若与关于轴对称，那么的值为　4　．
【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出，的值进而得出答案．
【解答】解：与关于轴对称，
，，
解得：，，
故．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
14．（3分）如图，为等边内一点，且，，，则度数为　　．
【分析】作的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：作的垂直平分线，
为等边三角形，为等腰三角形，
，，
的垂直平分线必过、两点，；
，，；
，
．
故答案为．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为　　．
【分析】由、均与互余可知；由折叠特性可知可得出；再根据可得出，结合平行线的性质求得的度数．
【解答】解：四边形为长方形，
．
由折叠的特性可知：，．
，，且，
．
，
．
又，
．
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了长方形的性质以及折叠问题，解题的关键是找出的度数．本题属于基础题，难度不大，解决此类问题时，一定要注意到折叠时不变的量．
16．（3分）在平面直角坐标系中有点和点，在轴上存在一点，满足的值最小，则点坐标为　　．
【分析】找出点关于轴的对称点，连接与轴交于点，则点即为所求，再根据点在轴上的位置得出点坐标即可．
【解答】解：点关于轴的对称点，连接与轴交于点，则点即为所求．
观察图象可知点坐标为，
故答案为
【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
17．（3分）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角度数为　或　．
【分析】由于的形状不能确定，故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
【解答】解：如图①，当的中垂线与线段相交时，则可得，
，
，
，
；
如图②，当的中垂线与线段的延长线相交时，则可得，
，
，
，
，
．
底角为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．（3分）若，，则　200　．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得幂的乘方，根据幂的成方，可得答案．
【解答】解：
，
故答案为：200．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
19．（3分）如图，在中，，，，则的度数为　　．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，代入数据计算即可求出的度数．
【解答】解：如图，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为．
【点评】本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．（3分）如图，在中，，点在内部，，若，，则线段的长为　　．
【分析】通过，得，从而求得，即可求得，利用，即可求
【解答】解：
延长交于
，
为等腰三角形
平分，
又
故答案为
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质．含角的直角三角形的性质．此题的关键是通过三角形的比例关系判断出，从而得出、、三点共线，且，即可求解．因此做题时要灵活运用等腰三角形的性质．
三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．（7分）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（7分）解方程或不等式：
（1）
（2）
【分析】（1）方程整理后，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）不等式整理后，移项合并，把系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：（1）方程整理得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）不等式整理得：，
移项合并得：，
解得：．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（8分）如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，其中每一个小正方形的顶点叫做格点．按下列要求在网格内作图．
（1）在图1中作以为边的四边形，满足点、在格点上，且四边形为轴对称图形；
（2）在图2中作以为腰的等腰，满足点在格点上，且的面积为4．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的一个答案；
（2）利用网格结合等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2所示：即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及等腰三角形的性质，正确借助网格分析是解题关键．
24．（8分）已知中，平分，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求证：．
【分析】（1）由角平分线的性质和外角的性质可得，即可得结论；
（2）在上截取，作，通过证明，可得，，由等腰三角形的判定可得，，即可得结论．
【解答】（1）证明：平分，
，
，，
，
；
是等腰三角形；
（2）如图，在上截取，作，交于点，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的点在轴上，点在轴上，点坐标为，其中，．
（1）求点、点的坐标；
（2）已知，点为坐标轴上一点，满足是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点坐标．
【分析】（1）如图，作轴于．只要证明，可得，即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，；
（2）①当时，可得或或；
②当时，可得
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．（10分）如图1，点、在直线上，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，延长、交于点，在直线上取点，连接、，若，，，求的值．
【分析】（1）由可得、、、四点共圆，进而根据圆周角性质和三角形外角性质可得，由结合已知．即可得出，即可证明．
（2）根据圆的内接四边形性质可知，由（1）可知，易证即可证明．
【解答】（1）证明：过、、三点作圆．
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
．
，
．
（2）证明：连接，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
又由（1）可知．
，
．
（3）解：如解图2，在上截取，
在和中，
，
，
，，
，
，即为等边三角形，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，．
在直线上点右侧取点，使，连接，
，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，
设，则，，
在中，．
．
，即
．
【点评】本题考查了四点共圆、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时利用手拉手模型构造全等三角形和证明三角形全等是关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，的面积为．
（1）求点坐标；
（2）现在点处有一动点，在点处有一动点，两个动点同时沿轴以1个单位长度秒的速度向右作匀速运动．若点关于轴的对称点为，设两动点运动时间为，用含的式子来表示线段的长度，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，连接、，在第一象限内取点，连接、，满足，，过作轴交直线于点，当时，求值．
【分析】（1）解直角三角形求出的长即可解决问题；
（2）分两种情形：当点在线段上，则，，求出当与相遇时，，可得，推出当时，．当时，，当点在的延长线上时，，，可得，由此即可解决问题；
（3）分两种情形分别画出图形，利用全等三角形的性质构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）点坐标为，
，
的面积为，
，
，；
（2）如图1中，
由题意：当点在线段上，则，，
当与相遇时，，
，
当时，．
当时，，
当点在的延长线上时，，，
，
综上所述：．
（3）①当时，如图2中，连接．
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当时，如图3中，连接．
同法可得：，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．