江西省南昌市洪都中学2019-2020学年高二上学期第三次联考 理数试题（PDF版）

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2021 届高二年级第 3 次联考
数学试卷（理）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1. 已知直线 1 2: 2 2 0, : 4 1 0l x y l ax y? ? ? ? ? ? , 若 1 2l l? , 则a的值为（ ）
A. －2 B. 2 C.
1
2
? D. 8
2．对于任意实数 a b c d, , , ，给定下列命题正确的是（ ）
A. 若 , 0a b c? ? ，则 ac bc? B. 若 ,a b? ，则 2 2ac bc?
C. 若 2 2 ,ac bc? 则a b? D. 若 ,a b? 则 1 1
a b
?
3. 在 ABC? 中，若点D满足 3BD DC?
???? ????
，点 E为 AC的中点，则 ED ?
????
（ ）
A．
5 1
6 3
AC AB?
???? ????
B．
1 1
4 4
AB AC?
???? ????
C．
3 1
4 4
AC AB?
???? ????
D．
5 1
6 3
AC AB?
???? ????
4. 设等差数列? ?na 前 n项和为 nS ，若 254 ?? Sa ， 147 ?S ，则 ?10a （ ）
A．8 B．18 C．14 D．-14
5. 在△ABC中，角 A，B，C所对边分别为 a，b， c，若 2?a ， 6?b ，
4
?
?A ，则 ?B （ ）
A．
6
?
B．
3
?
C．
6
?
或
6
5?
D．
3
?
或
3
2?
6. 若 x，y满足
1 0
1 0
3 3 0
x y
x y
x y
? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ??
，则 2z x y? ? 的最小值为（ ）
A. －1 B. －2 C. 2 D. 1
7. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走 378里路，第一天健步
行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，则该人最后一天走的路
程为（ ）
A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里
8. 已知 nm, 是两条直线，? ?, 是两个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A． , , / / / /m m n n? ? ? ?? ? ? B． / / , / /m n n m? ? ? ? ??
C. / / , / / ,m m n n? ? ? ?? ? ? D． , , / / / /m n m n? ? ? ?? ? ?
9．已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的体积是 ( )
A. 3108cm B. 3100cm C. 392cm D. 384cm
10．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱 AB和 A1D1的中点分别为 E，F，若 AB＝6， AD＝8，AA1＝7，则
异面直线 EF与 AA1所成角的正切值为（ ）
A.
5
7
B.
7
5
C. 5 74
74
D. 7 74
74
11. 已知直线 043 ??? yx 与圆 25)2( 22 ??? yx 交于 A，B两点，若 P为圆上异于 A，B的动点，则
ABP? 的面积的最大值为 ( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
12．如图，直角 ABC? 的斜边 BC长为 2， 030??C ,且点 CB, 分别在 x轴 y轴正半轴上滑动，点 A在
线段的右上方，设 ),( RyxOCyOBxOA ??? ，记 OCOAM ?? ， yxN ?? ,则（ ）
A. M 有最大值，N 有最大值 B. M 有最小值，N 有最小值
C. M 有最小值，N 有最大值 D. M 有最大值，N 有最小值
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．已知角? 的终边经过点 (3, 4)? ，则 sin cos? ? ?+ ______.
14. 过点
1( ,1)
2
M 的直线 l与圆C： 2 2( 1) 4x y? ? ? 交于 A、 B两点，C为圆心，当 ACB? 最小时，直
线 l的方程为_________________．
2
15 . 已知实数 0a ? ， 0b ? ， 1 1 1
1 1a b
? ?
? ?
，则 2a b? 的最小值是__________．
16. 正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 棱长为3，点 E在边 BC上，且满足 2BE EC? ，动点M 在正方体表面上
运动，并且总保持 1ME BD? ，则动点M 的轨迹的周长为__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分）
17. 已知 a
?
，b
?
为两个不共线向量， 2a ?
?
， 1b ?
?
， 2c a b? ?
? ? ?
， d a kb? ?
?? ? ?
.
(1) 若 / /c d
? ??
，求实数 k；
(2) 若 7k ? ? ，且 c d?
? ??
，求 a
?
与b
?
的夹角.
18.已知数列? ?na 的前 n项和为 nS ，且
3 1
2n n
S a? ? ( )n N ?? ．
(1) 求数列? ?na 的通项公式；
(2) 设 32log 12
n
n
ab ? ? ，求
1 2 2 3 1
1 1 1
n nb b b b b b?
? ? ?? .
19. 如图，在四棱锥P ABCD? 中， 90ADB ?? ? ，CB CD? ，点 E为棱 PB的中点．
(1) 若 PB PD? ，求证： PC BD? ；
(2) 求证：CE //平面 PAD．
20. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为 a，b，c且 cos 4c A ? ， sin 5a C ? ．
（1）求边长 c；
（2）若△ABC的面积 20S ? ．求△ABC的周长．
21.已知圆C经过点 )1,3(),1,1( ?BA ，圆心C在直线 052 ??? yx 上， p是直线 01043 ??? yx 上的任
意一点．
（1）求圆C的方程；
（2）过点 p向圆C引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形 PMCN 的面积的最小值．
22. 已知四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD为矩形，且 2, 1AD AB? ? ，若 PA⊥平面 ABCD， ,E F
分别是线段 ,AB BC的中点.
（1）证明： PF DF? ；
（2）在线段 PA上是否存在点G，使得 EG∥平面 PFD？若存在，确定点G的位置；若不存在，说
明理由.
（3）若 PB与平面 ABCD所成的角为 045 ,求二面角 A PD F? ? 的余弦值.
理科数学

一．选择题
ACBCD BCDBA CD

二．填空题
1
5
? 2 4 3 0x y? ? ? 2 2 6 2

三．计算题
17. （1）∵ c d
r ur
∥ ，∴c d??
r ur
.
∴ ? ?2a b a kb?? ? ?
r r r r
.
因为 ,a b
r r
不共线，∴
2 1
1 2
k
k
?
?
??
? ? ??
? ??
…………………5
（2）∵ 7k ? ? ，∴ 7d a b? ?
ur r r
.
又∵ c d?
r ur
，∴ ? ? ? ?2 7 0a b a b? ? ? ?
r r r r
.
∴
2 2
2 15 7 0a a b b? ? ? ?
r r r r
.
又∵ 2, 1a b? ?
r r
,∴ 1a b? ?
r r
………………………10

18． (1)当 n＝1 时，a1＝
3
2
a1－1，∴a1＝2. ………… 1 .
∵Sn＝
3
2
an－1， ①
Sn－1＝
3
2
an－1－1(n≥2)， ②
∴①－②得 an＝(
3
2
an－1)－(
3
2
an－1－1)，即 an＝3an－1，……4
∴数列{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列，
∴an＝2·3
n－1……………………..6
(2)由(1)得 bn＝2log3
an
2
＋1＝2n－1，…………….7
∴
1
b1b2
＋
1
b2b3
＋…＋
1
bn－1bn
＝
1
1×3
＋
1
3×5
＋…＋
1
?2n－3??2n－1?

＝
1
2
[(1－
1
3
)＋(
1
3
－
1
5
)＋…＋(
1
2n－3
－
1
2n－1
)]＝
n－1
2n－1
………….12



19．证明：（1）取BD的中点O，连结CO PO， ，
因为CD CB? ，所以△ CBD为等腰三角形，所以BD CO? ．
因为PB PD? ，所以△ PBD为等腰三角形，所以BD PO? ．
又 PO CO O?I ，所以BD ?平面PCO．
因为PC ?平面PCO，所以PC BD? ……………………………………6．
（2）由E 为 PB中点，连EO，则EO PD∥ ，
又 EO?平面PAD，所以EO∥平面PAD．
由 90ADB? ? ?，以及BD CO? ，所以CO AD∥ ，
又CO?平面PAD，所以CO∥平面PAD．
又 =CO EO OI ，所以平面CEO∥平面PAD，
而CE ?平面CEO，所以CE∥平面PAD． …………………….12


20. （1）∵由正弦定理可得： 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
? ? ? ，可得：asinC＝csinA，
∵asinC＝5，可得：csinA＝5，可得：sinA＝
5
c
，又∵ccosA＝4，可得：cosA＝
4
c
，
∴可得：sin
2
A+cos
2
A＝
2 2
25 16
c c
? ＝1，∴解得 c＝ 41．………………..6
（2）∵△ABC 的面积 S＝
1
2
absinC＝20，asinC＝5，∴解得：b＝8，……….8
∴由余弦定理可得：a
2
＝b
2
+c
2
﹣2bccosA＝64+41﹣2×
4
41 8
41
? ? ＝41，
解得：a＝ 41，或﹣ 41（舍去），……………………………...11
∴△ABC 的周长＝a+b+c＝ 41 +8+ 41＝8+2 41．………….12



21．解：（1）设圆心坐标为（a，2a﹣5），则
∵圆 C过两点 A（1，1），B（3，﹣1），
∴ ＝
∴a＝3，∴圆心坐标为（3，1）圆的半径为 2.
∴圆 C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4；……………………………6
（2）由题意过点 P作圆 C的两条切线，切点分别为 M，N，
可知四边形 PMCN 的面积是两个三角形的面积的和，因为 CM⊥PM，CM＝1，
显然 PM最小时，四边形面积最小，此时 PC 最小
∵P是直线 3x﹣4y+10＝0上的动点，
PC 最小值＝ ．∴PM 最小值＝ ．
∴四边形 PMCN面积的最小值为 2× ＝2 ．………………12

22. （1）连接 AF ，则 2AF ? ， 2DF ? .

又 2AD ? ，∴ 2 2 2DF AF AD? ? ，∴DF AF?
又∵ PA?平面 ABCD，∴DF PA? .又 PA AF A?I .
∴ DF ?平面 PAF .
∵ PF ?平面 PAF ，∴DF PF? ……………………3
（2）过点 E 作 EH FD∥ 交 AD 于点H ，则 EH∥平面 PFD ，且有
1
4
AH AD? .
再过点H 作HG DP∥ 交 PA于点G ，连接 EG ，则 HG∥平面 PFD 且
1
4
AG AP? .
∴平面 EHG∥平面 PFD .∴ EG∥平面 PFD .
∴当G 为 PA的一个四等分点（靠近点 A）时， EG∥平面 PFD ……………..7

（3）∵ PA?平面 ABCD，∴ PBA? 是 PB与平面 ABCD所成的角，且 45PBA? ? ?，
∴ 1PA AB? ? .
取 AD的中点M ，连接 FM ，则FM AD? ， FM ?平面 PAD ，∴FM PD? .
在平面 PAD 中，过点M 作MN PD? 于点 N ，连接 FN 则 PD ?平面 FMN ，则 MNF? 为二
面角 A PD F? ? 的平面角.
∵ Rt MND Rt PAD△ ∽ △ ，∴
MN MD
PA PD
?
∵ 1PA ? ， 1MD ? ， 5PD ? ，且 90FMN? ? ?，
∴
5
5
MN ? ，
30
5
FN ? ，∴
6
cos
6
MN
MNF
FN
? ? ?
故二面角 A PD F? ? 的余弦值为
6
6
………………………………….12