江西省南昌市洪都中学2019-2020学年高二上学期第三次联考 文数试题（PDF版）

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2021 届高二年级第三次联考
文科数学试题
考试用时：120 分钟 满分分值：150 分 2019 年 9 月 26 日
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知直线 l1：ax ? 3y ?1? 0与直线 l2：6x ? 4y ?3 ? 0垂直，则 a的值为（ ）
A．2 B．
9
2
C．﹣2 D．
9
2
?
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
3．如图所示是水平放置三角形的直观图，点 D是△ABC的 BC边中点，AB，BC分别与 y′
轴、x′轴平行，则三条线段 AB，AD，AC中（ ）
A．最长的是 AB，最短的是 AC
B．最长的是 AC，最短的是 AB
C．最长的是 AB，最短的是 AD
D．最长的是 AC，最短的是 AD
4．已知向量a?与b
?
的夹角为120?， 3a ?
?
， | | 13a b? ?
??
，则 | |b ?
?
（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．设 m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则 m⊥β；
③若 m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若 m∥n，n?α，则 m∥α.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．若将函数 ? ? 2sin 1
6
f x x ?? ?? ? ?? ?
? ?
的图象上各点横坐标缩短到原来的
1
2
(纵坐标不变)得到
函数 ? ?g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 ? ?g x 在 0 6
?? ?
? ?
? ?
， 上单调递增 B．函数 ? ?g x 的周期是
2
?
C．函数 ? ?g x 的图象关于点 012
?? ??? ?
? ?
， 对称 D．函数 ? ?g x 在 0 6
?? ?
? ?
? ?
， 上最大值是 1
7．已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的底面边长为 1，侧棱长为 2， E为 1AA 的中点，从 E拉一
条绳子绕过侧棱 1CC 到达 B点的最短绳长为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
8．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD长为 2，侧视
图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且 1AB BC? ? ，则异面直线 PB与CD所成角
的正切值是（ ）
A．1 B． 2 C． 1
2
D． 2
2
8．已知直线 y x m? ? ? 与曲线 2 2y x x? ? ? 有两个不同交点，
则（ ）
A. 0 2 1m? ? ? B. 0 2 1m? ? ?
C. 2 1 2 1m? ? ? ? ? D. 0 2 1m? ? ?
10．如图，在四面体 D－ABC中，若 AB＝CB，AD＝CD，
E是 AC的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面 ABC?平面 ABD
B．平面 ABD?平面 BDC
C．平面 ABC?平面 BDE，且平面 ADC?平面 BDE
D．平面 ABC?平面 ADC，且平面 ADC?平面 BDE
11．已知 0m ? ， 0xy ? ，当 2x y? ? 时，不等式
2 4m
x y
? ? 恒成立，则m的取值范围是
A． ?2,? ??? B．? ?2,?? C． ?0, 2 ?? D． ? ?0,2
12．如图,正方体 AC1的棱长为 1,过点 A作平面 A1BD的垂线,垂足为点 H，以下四个命题：
①点 H是△A1BD的垂心；
②AH垂直平面 CB1D1
③直线 AH和 BB1所成角为 45°；
④AH的延长线经过点C1
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上）
13．已知等差数列{ }na 的前n项和为 nS ，若 5 7 9 15a a a? ? ? ，则 13S ? ________.
14．已知实数 ,x y满足约束条件
0
4 0
1
x y
x y
y
? ??
? ? ? ??
? ??
，则 2z x y? ? ? 的最大值是 ．
15．圆 2 21 : 4 3 0C x y x? ? ? ? 与圆
2 2
2 : ( 1) ( 4)C x y a? ? ? ? 恰有三条公切线，则实数 a的值
是 ．
16．在三棱锥 S ?ABC中，△ABC是边长为 4 的正三角形，SA＝SB＝SC
＝10，平面 DEFH分别与 AB，BC，SC，SA交于 D，E，F，H，
且 D，E分别是 AB，BC的中点，如果直线 SB∥平面 DEFH，那
么四边形 DEFH的面积为 ．
2
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分 10 分) 设数列{ }na 的前n项和为 nS ， *1 ( )n nS a n N? ? ? .
（1）求数列{ }na 的通项公式；（2）设 2logn nb a? ，求数列
1
1
n nb b ?
? ?
? ?
? ?
的前n项和 nT .
18．（本小题满分 12 分）如图所示， ABC? 是正三角形，线段 EA和DC都垂直于平面 ABC，
设 2EA AB DC? ? ，且F为 BE的中点.
（1）求证：DF∥平面 ABC；（2）求证： AF BD? .
19．（本小题满分 12 分）如图，空间四边形 ABCD中，E、F、G分别在 AB、BC、CD上，
且满足 AE:EB＝CF:FB＝2:1，CG:GD＝3:1，过 E、F、G的平面交 AD于点 H.
（1）求 AH:HD；（2 求证：EH、FG、BD三线共点．
20．（本小题满分 12 分）在 ABC△ 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若
tan 21
tan
A c
B b
? ? ．
（1）求角 A的大小．
（2）若函数 2
π( ) 2sin 3 cos 2
4
f x x x? ?? ? ?? ?
? ?
，
π π,
4 2
x ? ?? ? ?? ?
，在 x B? 处取到最大值 a，求 ABC△
的面积．
21．（本小题满分 12 分）如图，已知直角梯形 ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC
＝2，CD＝1＋ 3 ，过 A作 AE⊥CD，垂足为 E，现将△ADE沿 AE折叠，使得 DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面 CDE;
（2）在线段 AE上是否存在一点 R，使得面 BDR⊥面 DCB，若存在，求出点 R的位置；若
不存在，请说明理由.
22．（本小题满分 12 分）已知圆C： ? ?22 3 1x y? ? ? 与直线m： 3 6 0x y? ? ? ，动直线 l过
定点 ( 1,0)A ? .
（1）若直线 l与圆C相切，求直线 l的方程；
（2）若直线 l与圆C相交于 P、Q两点，点 M是 PQ的中点，直线 l与直线m相交于点 N．探
索 AM AN?
????? ????
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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文科数学参考答案
一、选择题
CDBCA ACDAC BD
二、填空题
13．65 14．?1 15．16 16．10
三、解答题
17.（1）因为 Sn ?1? an ?n?N * ?，所以 Sn?1 ?1?an?1（ n?N *，且 n ? 2），
则 Sn ? Sn?1 ? ?1? an ?? ?1? an?1 ?（ n?N *，且n ? 2）
即 an ?
1
2
an?1（ n?N *，且n ? 2） .………………………………2分
因为 Sn ?1? an ?n?N * ?，所以 S1 ?1? a1 ? a1，即 1 12a ? .………………………3分
所以? ?na 是以
1
2
为首项，
1
2
为公比的等比数列.
故 ? ?*12
n
na n N
? ?? ?? ?
? ?
.. . ………………………………5分
（2） 2logn nb a? ，所以 2
1log
2
n
nb n
? ?? ? ?? ?
? ?
. .. . ………………………………6分
所以 ? ?1
1 1 1 1
1 1n nb b n n n n?
? ? ?
? ? ， .. . ………………………………8分
故
1 1 11
2 2 3n
T ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? 1 1 11
1 1 1
n
n n n n
? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?
. ………………10分
18．（1）证明:如图所示,取 AB的中点G ,连接 ,CG FG .
∵ ,EF FB AG GB? ? ,∴ .. . ………………………………2分
又 ∴ ∴四边形CDFG为平行四边形. 故DF CG? .……4分
∵DF ?平面 ABC ,CG ?平面 ABC ,∴DF ?平面 ABC ……………………..5分
（2）证明:∵ EA ?平面 ABC ,∴ .AE CG? 又 ABC? 是正三角形,∴ .CG AB?
∴CG ?平面 .AEB .. . ………………………………7分
又∵DF CG? ,∴DF ?平面 AEB .∴ .AF DF? …………………………9分
∵ ,AE AB EF FB? ? ,∴ .AF BE? ∴ AF ?平面 BED ,………………………11分
∴ .AF BD? ...………………………………12分
19. （1）∵AE
EB
＝
CF
FB
＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面 ACD，而 EF?平面 EFGH， ...………………………………2分
平面 EFGH∩平面 ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH. ...………………………………4分
∴
AH
HD
＝
CG
GD
＝3，∴AH:HD＝3:1. ...………………………………6分
（2）证明：∵EF∥GH，且EF
AC
＝
1
3
，
GH
AC
＝
1
4
，
∴EF≠GH，∴四边形 EFGH为梯形． ...………………………………8分
令 EH∩FG＝P，则 P∈EH，而 EH?平面 ABD，
又 P∈FG，FG?平面 BCD， ...………………………………10分
平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
∴P∈BD，∴EH、FG、BD三线共点． .....……………………………12分
20．解：（1）∵
sin cos 2sin1
cos sin sin
A B C
A B B
? ? ? ， .....……………………………1分
∴
cos sin sin cos 2sin
cos sin sin
A B A B C
A B B
?
? ，∴
sin( ) 2sin
cos sin sin
A B C
A B B
?
? ，……………………………3分
∴
sin 2sin
cos
C C
A
? ，又∵ sin 0C ? ，∴
1cos
2
A ? ，故
π
3
A ? ．…………………………5分
（2）∵ ? ? 2 π π2sin 3cos2 1 2sin 2
4 3
f x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
，…………………………7分
∴当
π π2
3 2
x ? ? ，即
5π
12
x ? 时， ? ?max 3f x ? ，此时
5π
12
B ? ，
π
4
C ? ， 3a ? ， ……9分
∵
sin sin
a c
A C
? ，∴
723sin 2 673sin
2
a cC
A
?
? ? ? ， …………………………10分
则
1 1 6 2 9 3 3sin 3 6
2 2 4 4
S ac B ? ?? ? ? ? ? ? ． …………………………12分
21.（1）∵AE⊥CD，∴AE⊥CE，AE⊥DE，
又CE DE E?? ， AE? ?平面CDE． …………………………3分
由已知易得 AE∥BC，∴BC⊥平面 CDE; ………………………5分
2
（2）存在，当R点满足
1
4
AR AE? 时，面BDR ?面BDC．………………………6分
证明：如图，过点 E作 EF⊥CD交 CD于 F，易得
1
4
CF CD? ，…………………7分
由（1）可知 BC⊥平面 CDE ，则 BC⊥EF，∴EF⊥平面 BCD，…………………9分
过点 F作 FG∥BC交 BD于 G，连结 GR，则
3
4
FG BC? ，
又
1
4
AR AE? ，且 BC∥AE，∴四边形 EFGR是平行四边形， ………………11分
∴EF∥GR，∴GR⊥平面 BCD，又GR ?平面 BDR，面 BDR ?面BDC．…………12分
22．解：（1）当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 1x ? ? ，
此时与圆相切，符合题意； ………………………………1分
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ( 1)y k x? ? ，即 0kx y k? ? ? ，
若直线与圆相切，则圆心 (0,3) 到直线的距离等于半径 1，
所以
2
3
1
1
k
k
? ?
?
?
，解得
4
3
k ? ，
所以直线 l的方程为
4 ( 1)
3
y x? ? ，即 4 3 4 0x y? ? ? . ………………………………4分
综上，直线 l的方程为 1x ? ? 或 4 3 4 0x y? ? ? .
直线 l的方程为 1x ? ? 或 4 3 4 0x y? ? ? ． ………………………………5分
（2）∵CM⊥MN，∴ ( ) = + =AM AN AC CM AC AN CM AC AN AN NA? ? ? ? ? ? ?
????? ???? ???? ????? ???? ???? ??? ????? ?? ??? ?? ? ? ????
若直线 l与 x轴垂直时，不符合题意； ………………………………7分
所以 l的斜率存在，设直线 l的方程为 ( 1)y k x? ? ，
则由
3 6
( 1) 1 3
3 6 0 5
1 3
kxy k x k
x y ky
k
? ?? ??? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?
? ??
，即
3 6 5( , )
1 3 1 3
k kN
k k
? ? ?
? ?
． ………………………9分
∴
5 5( , )
1 3 1 3
kAN
k k
? ?
?
? ?
????
，从而
5 15 5
1 3
=
1 3
=AN AN kAM AC
k k
? ?
? ? ? ? ?
? ?
???? ????? ?? ? ?????
．
综上所述， = 5AAM N ??
??? ??????
． ………………………12分