北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第13讲 圆的对称性(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第13讲 圆的对称性(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 268.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-22 19:57:44 | ||
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文档简介
圆的对称性—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
要点一、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点二、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. / 证明：连结OC、OD / ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作/，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等.
要点三、垂径定理
1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. / 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 / (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
要点四、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点五、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角与弧的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2. 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
/1. （2019春?安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
/
【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=/OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF=/=/，
则CD=2DF=2/．
【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．
/
【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，
∴ /
/，
/，
∴ 在Rt△BOM中，/．
/
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
/
【答案】14cm.
/2. 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， / / =8+6 =14(cm) /
图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm. 【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．
类型二、垂径定理的综合应用
/3.（2019?普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
/
【答案与解析】
解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，
∵∠OAB=45°，
∴AD=OD，
∴设AD=x，则OD=x，OA=/x，CD=x+BC=x+50）．
∵∠OCA=30°，
∴/=tan30°，即/=/，
解得x=25/﹣25，
∴OA=/x=/×（25/﹣25）=（25/﹣25/）（米）．
答：人工湖的半径为（25/﹣25/）米．
【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
/4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
/
【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；
在图②中AB、CD交于⊙O内一点；
在图③中AB∥CD．
/
(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．
(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．
∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴ AE∥OG∥BF．
∵ AB为直径，
∴ AO＝OB，
∴ EG＝GF，
∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
/5.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．
/
【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证/或证∠AOD＝∠BOC即可．
【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ /．
∴ ，即/，
∴ AD＝BC．
/
证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，
∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD．
∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，
即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．
【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．
举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：/．
/
【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，
∵ OA＝OB，且/，/，
∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，
∴ Rt△COM≌Rt△DON，
∴ ∠COM＝∠DON，
∴ /．
/ /
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．
∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴ AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴ AC＝BD，
∴ /．
圆的对称性—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1.（2019?河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则/的度数为（ ）
/
A．25° B． 30° C． 50° D． 65°
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=/，BD=/，则AB的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5 /
/ / /
第3题 第5题 第6题
4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是/、/，则∠BAC的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．
A．/寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．
A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm
二、填空题
7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且 ．若∠COD=40°，则∠ADO=______度．
8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
/ / /
7题图 8题图 9题图
9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
10．（2019?徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
/
11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为 ．
/ /
(第12题)
12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，
PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .
三、解答题
13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，/，求弦AB和AC的长．
/
14．如图所示，C为/的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB的长．
/
15．如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
/
16.（2019?杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】连接CD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠ABC=90°﹣25°=65°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴/=50°．故选C．
2．【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=/，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
则/，由此得R=/，
所以AB=3.故选 B.
4.【答案】D．
【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.
5．【答案】D．
【解析】连结AO，
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ /．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
/
6．【答案】D．
【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.
二、填空题
7．【答案】30．
【解析】∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=40°； ∴∠AOD=120°； ∴∠ADO=（180°-∠AOD）=30°．
8．【答案】/
9．【答案】/
10．【答案】 ．
【解析】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=/CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=/CE=4/cm，
故答案为：4/
11．【答案】/.
【解析】连接OC,易求CF=/ CD=/.
12.【答案】5.
【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=/
三、解答题
13.【答案与解析】
连结OA，
∵CD=15，/，
∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，
∴/
/
14.【答案与解析】
因为C为/的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设/则/解得/，/.
15.【答案与解析】
（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.
/
/
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.
/
16.【答案与解析】
解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
/
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
/
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵/，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=/BED=30°，
∴ON=/OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE=/=/，
∴DE﹣AE=2NE=2/．
【学习目标】
1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
要点一、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点二、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. / 证明：连结OC、OD / ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作/，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等.
要点三、垂径定理
1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. / 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 / (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
要点四、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点五、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角与弧的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2. 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
/1. （2019春?安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
/
【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=/OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF=/=/，
则CD=2DF=2/．
【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．
/
【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，
∴ /
/，
/，
∴ 在Rt△BOM中，/．
/
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
/
【答案】14cm.
/2. 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， / / =8+6 =14(cm) /
图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm. 【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．
类型二、垂径定理的综合应用
/3.（2019?普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
/
【答案与解析】
解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，
∵∠OAB=45°，
∴AD=OD，
∴设AD=x，则OD=x，OA=/x，CD=x+BC=x+50）．
∵∠OCA=30°，
∴/=tan30°，即/=/，
解得x=25/﹣25，
∴OA=/x=/×（25/﹣25）=（25/﹣25/）（米）．
答：人工湖的半径为（25/﹣25/）米．
【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
/4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
/
【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；
在图②中AB、CD交于⊙O内一点；
在图③中AB∥CD．
/
(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．
(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．
∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴ AE∥OG∥BF．
∵ AB为直径，
∴ AO＝OB，
∴ EG＝GF，
∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
/5.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．
/
【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证/或证∠AOD＝∠BOC即可．
【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ /．
∴ ，即/，
∴ AD＝BC．
/
证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，
∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD．
∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，
即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．
【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．
举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：/．
/
【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，
∵ OA＝OB，且/，/，
∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，
∴ Rt△COM≌Rt△DON，
∴ ∠COM＝∠DON，
∴ /．
/ /
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．
∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴ AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴ AC＝BD，
∴ /．
圆的对称性—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1.（2019?河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则/的度数为（ ）
/
A．25° B． 30° C． 50° D． 65°
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=/，BD=/，则AB的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5 /
/ / /
第3题 第5题 第6题
4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是/、/，则∠BAC的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．
A．/寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．
A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm
二、填空题
7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且 ．若∠COD=40°，则∠ADO=______度．
8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
/ / /
7题图 8题图 9题图
9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
10．（2019?徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
/
11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为 ．
/ /
(第12题)
12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，
PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .
三、解答题
13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，/，求弦AB和AC的长．
/
14．如图所示，C为/的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB的长．
/
15．如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
/
16.（2019?杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】连接CD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠ABC=90°﹣25°=65°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴/=50°．故选C．
2．【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=/，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
则/，由此得R=/，
所以AB=3.故选 B.
4.【答案】D．
【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.
5．【答案】D．
【解析】连结AO，
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ /．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
/
6．【答案】D．
【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.
二、填空题
7．【答案】30．
【解析】∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=40°； ∴∠AOD=120°； ∴∠ADO=（180°-∠AOD）=30°．
8．【答案】/
9．【答案】/
10．【答案】 ．
【解析】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=/CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=/CE=4/cm，
故答案为：4/
11．【答案】/.
【解析】连接OC,易求CF=/ CD=/.
12.【答案】5.
【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=/
三、解答题
13.【答案与解析】
连结OA，
∵CD=15，/，
∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，
∴/
/
14.【答案与解析】
因为C为/的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设/则/解得/，/.
15.【答案与解析】
（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.
/
/
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.
/
16.【答案与解析】
解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
/
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
/
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵/，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=/BED=30°，
∴ON=/OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE=/=/，
∴DE﹣AE=2NE=2/．