北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 圆周角和圆心角的关系(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 圆周角和圆心角的关系(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 342.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-22 20:00:20 | ||
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文档简介
圆周角和圆心角的关系—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；
2．理解圆周角定理及推论；
3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．
【要点梳理】
要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． / 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） /
要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
【典型例题】
类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
/1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．
/
【思路点拨】
本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证/或证∠AOD＝∠BOC即可．
【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ /．
∴ ，即/，
∴ AD＝BC．
/
证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，
∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD．
∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，
即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．
【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．
举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：/．
/
【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，
∵ OA＝OB，且/，/，
∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，
∴ Rt△COM≌Rt△DON，
∴ ∠COM＝∠DON，
∴ /．
/ /
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．
∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴ AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴ AC＝BD，
∴ /．
类型二、圆周角定理及应用
/2.（2019?南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．
求证：∠ABC=2∠CBO．
/
【答案与解析】
证明：连接OC、AC，如图，
∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．
∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=/∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．
【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .
/
【答案】40°或140°.
/3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________. /
【答案】90°.
【解析】如图，连接OE，则/ / /
【总结升华】把圆周角转化到圆心角. 举一反三： 【变式】（2019?玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．
/
【答案】96°；
提示：解：连结OC，如图，
∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=/（180°﹣∠BOC）=/（180°﹣72°）=54°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
故答案为96．
/4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长. / 【答案与解析】
如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B， 则∠AC′B=∠C=60° 又∵AC′是⊙O的直径， ∴∠ABC′=90° / / / 即⊙O的直径为/.
/
【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.
举一反三：
【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）．
A．/ B．4 C．/ D．5
/
【答案】A.
类型三、圆内接四边形及应用
/5.已知，如图，∠EAD是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.
求证：AD平分∠EAC.
【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=
∠DCB，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC，所以等量代换可求得∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.
【答案与解析】
证明：∵∠EAD与∠DAB互为邻补角，
∴∠EAD+∠DAB=180°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∴∠EAD=∠DCB.
又∵∠DBC与∠DAC是 所对的圆周角，
∴∠DBC=∠DAC,
∴∠EAD=∠DAC.
即AD平分∠EAC.
【总结升华】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运用.
举一反三：
【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（ ）.
A.150° B. 160° C.170° D.165°
【答案】C.
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧/是劣弧/的2倍；⑤AE＝BC。其中正确的有( )个
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
/ / /
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的/倍，C为/中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．（2019?威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
/
A．68° B． 88° C． 90° D．112°
5．如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是/上一点，则∠ACB等于( )．
A．80° B．100° C．130° D．140°
/ / /
第4题图 第5题图 第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为/cm，则弦CD的长为( )．
A．/cm B．3cm C．/cm D．9cm
二、填空题
7．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°． / /
（第7题） （第9题）
8．（2019?青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．
/
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,/,则∠AED= °.
10．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.
11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧/的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．
/ /
（第10题图） （第11题图）
12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .
13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2/+2/）x+4/=0的两个根，
则∠BAC的度数为_______．
三、解答题
14.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
15.（2019?宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为/上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．
/
16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为/的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，
求证：AF＝CF．
/
17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
求四边形ADBC的面积．
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D．
【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，
同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.
2．【答案】C．
【解析】①②④正确.
3.【答案】C．
【解析】由弦AB的长是半径OA的/倍，C为/中点，得∠AOC=60°，△AOC为等边三角形，
所以AO=AC，进而得到OA=OB=BC=AC，故则四边形OACB是菱形.
4．【答案】B．
【解析】如图，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故选B．
5．【答案】C．
【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD； 则∠ADB=/∠AOB=50°； ∵四边形ADBC内接于⊙O， ∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．
/
6．【答案】B．
【解析】∵ ∠CDB＝30°， ∴ ∠COB＝2∠CDB＝60°，
又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ ∠OCD＝30°，/，
在Rt△OEC中，∵ /cm，∴ /cm．
/(cm)．
∴ /cm，∴ CD＝3cm． 二、填空题
7．【答案】40°；
【解析】∵ ∠AOC＝130°，
∴ ∠ADC＝∠ABC＝65°，
又AB⊥CD，
∴ ∠PCD＝90°－65°＝25°，
∴ ∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．
8．【答案】40°；
【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
9．【答案】30°；
10．【答案】3；
11．【答案】/；
【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧/的中点，所以
OB⊥AC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得
22-x2=32-（3-x）2,解得，.
或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，/，/，/．
/
12．【答案】/；
【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC= /．
/
13.【答案】15°或75°.
【解析】方程x2-（2/+2/）x+4/=0的解为x1=2/，x2=2/，
不妨设：AB=2/，AC=2/．
（1）如图，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．
∵AB=2/，AC=2/，
∴AM=/，
∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2/，
∴AN=/，
在Rt△NAO中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；
/ /
（2）如图，∠BAC=75°．
三、解答题
14.【答案与解析】
解：在△ABE中，∠E=40°，
∴∠A+∠ABE=180°-∠E=180°-40°=140°.
在△ADF中，∠F=60°，
∴∠A+∠ADF=180°-∠F=180°-60°=120°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADF+∠ABE=180°，
∴2∠A=260°-180°=80°，
∴∠A=40°.
15.【答案与解析】
证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；
在△ACF和△BCD中
/
∴△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE，
∴AE=AF+EF=BD+DE．
16.【答案与解析】
证法一：连接BC，如图所示．
∵ AB是直径，∴ ∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°．
又∵ CD⊥AB，
∴ ∠B+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACF＝∠B．
∵ 点C是/的中点， ∴ /，
∴ ∠B＝∠CAE，
∴ ∠ACF＝∠CAE，∴ AF＝CF．
/ /
证法二：如图所示，连接BC，并延长CD交⊙O于点H．
∵ AB是直径，CD⊥AB，
∴ /． ∴ 点C是/的中点，
∴ /， ∴ /．
∵ ∠ACF＝∠CAF， ∴ AF＝CF．
17.【答案与解析】
∵ AB是直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝∠90°．
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，
∴ /．
∵ ∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴ ∠DCA＝∠BCD．
∴ /，∴ AD＝BD．
∴ 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴ AD＝BD＝/．
∴ /
/．
/
【学习目标】
1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；
2．理解圆周角定理及推论；
3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．
【要点梳理】
要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． / 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） /
要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
【典型例题】
类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
/1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．
/
【思路点拨】
本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证/或证∠AOD＝∠BOC即可．
【答案与解析】
证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ /．
∴ ，即/，
∴ AD＝BC．
/
证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，
∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD．
∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，
即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．
【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．
举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．
求证：/．
/
【答案】
证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，
∵ OA＝OB，且/，/，
∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，
∴ Rt△COM≌Rt△DON，
∴ ∠COM＝∠DON，
∴ /．
/ /
证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．
∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，
∴ AC＝OC，
同理BD＝OD，又OC＝OD．
∴ AC＝BD，
∴ /．
类型二、圆周角定理及应用
/2.（2019?南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．
求证：∠ABC=2∠CBO．
/
【答案与解析】
证明：连接OC、AC，如图，
∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．
∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=/∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．
【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .
/
【答案】40°或140°.
/3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________. /
【答案】90°.
【解析】如图，连接OE，则/ / /
【总结升华】把圆周角转化到圆心角. 举一反三： 【变式】（2019?玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．
/
【答案】96°；
提示：解：连结OC，如图，
∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=/（180°﹣∠BOC）=/（180°﹣72°）=54°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
故答案为96．
/4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长. / 【答案与解析】
如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B， 则∠AC′B=∠C=60° 又∵AC′是⊙O的直径， ∴∠ABC′=90° / / / 即⊙O的直径为/.
/
【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.
举一反三：
【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）．
A．/ B．4 C．/ D．5
/
【答案】A.
类型三、圆内接四边形及应用
/5.已知，如图，∠EAD是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.
求证：AD平分∠EAC.
【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=
∠DCB，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC，所以等量代换可求得∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.
【答案与解析】
证明：∵∠EAD与∠DAB互为邻补角，
∴∠EAD+∠DAB=180°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∴∠EAD=∠DCB.
又∵∠DBC与∠DAC是 所对的圆周角，
∴∠DBC=∠DAC,
∴∠EAD=∠DAC.
即AD平分∠EAC.
【总结升华】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运用.
举一反三：
【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（ ）.
A.150° B. 160° C.170° D.165°
【答案】C.
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧/是劣弧/的2倍；⑤AE＝BC。其中正确的有( )个
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
/ / /
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的/倍，C为/中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．（2019?威海）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
/
A．68° B． 88° C． 90° D．112°
5．如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是/上一点，则∠ACB等于( )．
A．80° B．100° C．130° D．140°
/ / /
第4题图 第5题图 第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为/cm，则弦CD的长为( )．
A．/cm B．3cm C．/cm D．9cm
二、填空题
7．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°． / /
（第7题） （第9题）
8．（2019?青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．
/
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,/,则∠AED= °.
10．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.
11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧/的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．
/ /
（第10题图） （第11题图）
12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .
13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2/+2/）x+4/=0的两个根，
则∠BAC的度数为_______．
三、解答题
14.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
15.（2019?宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为/上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．
/
16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为/的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，
求证：AF＝CF．
/
17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
求四边形ADBC的面积．
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D．
【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，
同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.
2．【答案】C．
【解析】①②④正确.
3.【答案】C．
【解析】由弦AB的长是半径OA的/倍，C为/中点，得∠AOC=60°，△AOC为等边三角形，
所以AO=AC，进而得到OA=OB=BC=AC，故则四边形OACB是菱形.
4．【答案】B．
【解析】如图，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故选B．
5．【答案】C．
【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD； 则∠ADB=/∠AOB=50°； ∵四边形ADBC内接于⊙O， ∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．
/
6．【答案】B．
【解析】∵ ∠CDB＝30°， ∴ ∠COB＝2∠CDB＝60°，
又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ ∠OCD＝30°，/，
在Rt△OEC中，∵ /cm，∴ /cm．
/(cm)．
∴ /cm，∴ CD＝3cm． 二、填空题
7．【答案】40°；
【解析】∵ ∠AOC＝130°，
∴ ∠ADC＝∠ABC＝65°，
又AB⊥CD，
∴ ∠PCD＝90°－65°＝25°，
∴ ∠P＝∠ADC－∠PCD＝65°－25°＝40°．
8．【答案】40°；
【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
9．【答案】30°；
10．【答案】3；
11．【答案】/；
【解析】连结OA、OB，交AC于E，因为点B是劣弧/的中点，所以
OB⊥AC，设BE=x,则OE=3-x，由AB2-BE2=OA2-OE2得
22-x2=32-（3-x）2,解得，.
或连接OA、OB，△OAB∽△BCD，/，/，/．
/
12．【答案】/；
【解析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．（如图）
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC= /．
/
13.【答案】15°或75°.
【解析】方程x2-（2/+2/）x+4/=0的解为x1=2/，x2=2/，
不妨设：AB=2/，AC=2/．
（1）如图，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．
∵AB=2/，AC=2/，
∴AM=/，
∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2/，
∴AN=/，
在Rt△NAO中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；
/ /
（2）如图，∠BAC=75°．
三、解答题
14.【答案与解析】
解：在△ABE中，∠E=40°，
∴∠A+∠ABE=180°-∠E=180°-40°=140°.
在△ADF中，∠F=60°，
∴∠A+∠ADF=180°-∠F=180°-60°=120°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADF+∠ABE=180°，
∴2∠A=260°-180°=80°，
∴∠A=40°.
15.【答案与解析】
证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；
在△ACF和△BCD中
/
∴△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE，
∴AE=AF+EF=BD+DE．
16.【答案与解析】
证法一：连接BC，如图所示．
∵ AB是直径，∴ ∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°．
又∵ CD⊥AB，
∴ ∠B+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACF＝∠B．
∵ 点C是/的中点， ∴ /，
∴ ∠B＝∠CAE，
∴ ∠ACF＝∠CAE，∴ AF＝CF．
/ /
证法二：如图所示，连接BC，并延长CD交⊙O于点H．
∵ AB是直径，CD⊥AB，
∴ /． ∴ 点C是/的中点，
∴ /， ∴ /．
∵ ∠ACF＝∠CAF， ∴ AF＝CF．
17.【答案与解析】
∵ AB是直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝∠90°．
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，
∴ /．
∵ ∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴ ∠DCA＝∠BCD．
∴ /，∴ AD＝BD．
∴ 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∴ AD＝BD＝/．
∴ /
/．
/