第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．www-2-1-cnjy-com
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．21*cnjy*com
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是______．
【考点】二次函数的性质，二次函数的定义．
【分析】根据抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．
解：∵抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，
∴a+2＜0，
得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的定义。用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下． jy.com
◆变式训练
已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【出处：21教育名师】
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
（2017年广西百色市）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【考点】 待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，
故答案为y=﹣x2+x+3．
【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法
◆变式训练
（2019年江苏省泰州市节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A．B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式，
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
1.（2019年浙江省衢州市）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2.（2018年上海市）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【考点】二次函数的性质
【分析】A．由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．
解：A．∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣=，
∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的对称轴的求法，配方法把二次函数的一般式化成顶点式，配方法是初中范围内的基本方法．
◆变式训练
1.（2018年广东省广州市）已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．
2.（2019年四川省遂宁市）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2019年四川省巴中市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①抛物线与x轴由两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确，②由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0，故②错误，
③对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，b＝2a，所以2a+b﹣c＝4a﹣c，2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，故③错误，
④对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，则抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确．
解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确，
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误，
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误，
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖北省鄂州市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.（2019年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2
2.（2018年山东省青岛市）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3.（2019年福建省）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
4.（2019年四川省凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0，②b2﹣4ac＞0，③5a﹣2b+c＞0，④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（2019年四川省成都市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
6.（2019年广西河池市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
7.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）将二次函数化成的形式为__________．
8.（2019年浙江省湖州市）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C．D．
9.（2019年湖南省株洲市）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
10.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
选择题
1.（2019年辽宁省沈阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
2.（2019年四川省攀枝花市）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2019年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
4.（2019年湖南省益阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
5.（2019年湖南省娄底市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.（2019年广西玉林市）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4 B．±2 C．﹣2或2 D．﹣4或4
7.（2019年四川省南充市）抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
8.（2019年广西河池市）如图，△ABC为等边三角形，点P从A出发，沿A→B→C→A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
9.（2019年山东省青岛市）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
10.（2019年四川省自贡市）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
11.（2018年四川省攀枝花市）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】二次函数的性质
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
填空题
12.（2019年浙江省杭州市）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
13.（2019年山东省潍坊市）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
14.（2017年甘肃兰州市）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ．
15.（2017年河北省）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
16.（2018年黑龙江省哈尔滨市）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 ．
17.（2018年四川省德阳市）已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为 ．
18.（2018年黑龙江省牡丹江市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）
解答题
19.（2019年浙江省宁波市）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值，
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
20.（2019年山东省威海市）在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y甲
……
6
3
2
3
6
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y乙
……
﹣2
﹣1
2
7
14
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式，
（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大，
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
21.（2019年浙江省台州市）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式，
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式，
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
22.（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，那么a的取值范围是______．
【考点】二次函数的性质，二次函数的定义．
【分析】根据抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．
解：∵抛物线y=（a+2）x2+3x﹣a的开口向下，
∴a+2＜0，
得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的定义。用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下． jy.com
◆变式训练
已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【出处：21教育名师】
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0 解得m=0或m=1 又∵m-1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数
【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
（2017年广西百色市）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【考点】 待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，
故答案为y=﹣x2+x+3．
【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法
◆变式训练
（2019年江苏省泰州市节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A．B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式，
【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．
解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．
把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，
解得a＝．
故该二次函数解析式为y＝（x﹣4）2﹣3，
【点评】考查了待定系数法确定函数关系式．解题时，充分利用了二次函数三种形式中的顶点式，、。
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
1.（2019年浙江省衢州市）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线顶点式可求得答案．
解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2.（2018年上海市）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【考点】二次函数的性质
【分析】A．由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．
解：A．∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣=，
∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的对称轴的求法，配方法把二次函数的一般式化成顶点式，配方法是初中范围内的基本方法．
◆变式训练
1.（2018年广东省广州市）已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．
【考点】二次函数y=ax2的性质
【分析】根据二次函数性质：当a＞0时，在对称轴右边，y随x的增大而增大.由此即可得出答案.
解：∵a=1＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，开口方向与函数的增减性的关系，二次函数的增减性以对称轴为分界线，结合开口方向进行判断．
2.（2019年四川省遂宁市）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝＝2
∴a＝4，故A选项正确，
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确，
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确，
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2019年四川省巴中市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①抛物线与x轴由两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确，②由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0，故②错误，
③对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，b＝2a，所以2a+b﹣c＝4a﹣c，2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，故③错误，
④对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，则抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确．
解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确，
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误，
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误，
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖北省鄂州市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误；
②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③由x＝1时对应的函数值＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，由a＞0，c＞0，﹣b＞0，得到（ ）a+c）2﹣b2＜0，选项③正确；
④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．
解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1.（2019年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2
【考点】一次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数的性质
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
2.（2018年山东省青岛市）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．
3.（2019年福建省）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
【考点】二次函数的图象及性质
【分析】由点A（m，n）、C（3?m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2< y3< y1；
解：∵经过A（m，n）、C（3?m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2< y3< y1；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
4.（2019年四川省凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0，②b2﹣4ac＞0，③5a﹣2b+c＞0，④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a，
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0，
③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0，
④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，
∴x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
①正确，
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
②正确，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，
③正确，
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，
④错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
5.（2019年四川省成都市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
②抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误，
B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误，
C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C错误，
D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝＝3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
6.（2019年广西河池市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A．由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故本选项正确，不符合题意，
B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项正确，不符合题意，
C、由对称轴为x＝﹣＝1，得2a＝﹣b，即2a+b＝0，故本选项错误，符合题意，
D、由对称轴为x＝1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）将二次函数化成的形式为__________．
【考点】二次函数解析式的三种形式
【分析】利用配方法整理即可得解．
解：，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
8.（2019年浙江省湖州市）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
解：解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（0，﹣）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A错误，
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B错误，
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C错误，
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
9.（2019年湖南省株洲市）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a＜0．
解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下开口，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
10.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【考点】待定系数法求函数解析式,二次函数的图像和性质
【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
选择题
1.（2019年辽宁省沈阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，函数与x轴有两个不同的交点，当x＝﹣1时，y＞0，
解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，A错误，
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误，
∵b＝﹣2a，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．
2.（2019年四川省攀枝花市）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象，一次函数的图象
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
解：由方程组得ax2＝?a，
∵a≠0
∴x2＝?1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
3.（2019年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知，解之可得．
解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
则．
解得c＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
4.（2019年湖南省益阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①正确，
②∵对称轴x＜﹣1，
∴﹣＜﹣1，a＜0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②正确．
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
5.（2019年湖南省娄底市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，即可得出b﹣2a＞0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解．
解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，
∴b﹣2a＞0，b＜0，
△＝b2﹣4ac＞0，
abc＞0，
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，
∴只有④是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
6.（2019年广西玉林市）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4 B．±2 C．﹣2或2 D．﹣4或4
【考点】二次函数的性质
【分析】根据平移的性质求得交点Q的横坐标，代入C求得纵坐标，然后根据题意和勾股定理得到，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，解方程即可求得．
解：抛物线CC：y＝（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D1（m+1，﹣1），
∴Q点的横坐标为：，
代入y＝（x﹣1）2﹣1求得Q（，﹣1），
若∠DQD1＝60°，则△DQD1是等边三角形，
∴QD＝DD1＝|m|1，
由勾股定理得，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，
解得m＝±4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得Q的坐标是解题的关键．
7.（2019年四川省南充市）抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
【考点】二次函数图象，二次函数的系数的关系
【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
解：①∵顶点坐标为,
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1），
∴点（1-n，y1）与在该抛物线的对称轴的右侧图像上,
∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把 代入y=ax2+bx+c中，得,
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，
△=b2-4ac+4am-4a
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
8.（2019年广西河池市）如图，△ABC为等边三角形，点P从A出发，沿A→B→C→A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D，点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．
解：设△ABC为等边三角形边长为a，点P的运动速度为b，
（1）当点P从点A运动到点B时，y＝bx （0＜x≤），函数图象为一条线段，
（2）当P从点B运动到点C时，
过点P作PD⊥AB，垂足为D，则PB＝bx﹣a，
在RT△PBD中，PD＝PB?sin60°＝（bx﹣a），BD＝PB?sin30°＝（bx﹣a），
∴AD＝AB﹣BD＝a﹣（bx﹣a）＝（3a﹣bx），
在RT△PAD中，
AP2＝AD2+PD2
∴y2＝[（3a﹣bx）]2+[（bx﹣a）]2
＝b2x2﹣3abx+3a2 （＜x≤），
∴y2是x的二次函数，并且仅当x＝时有最小值，故y与x的函数图象是非线性图象，
（3）当P从点C运动到点A时，y＝3a﹣bx （＜x≤），函数图象为一条线段，
综上所述，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D不合题意，
点P从点B运动到点C时，y与x的函数图象是非线性图象，故选项B符合题意，选项A不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
9.（2019年山东省青岛市）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．
解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误，
∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误，
当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
10.（2019年四川省自贡市）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴-＞0，
∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
11.（2018年四川省攀枝花市）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】二次函数的性质
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
填空题
12.（2019年浙江省杭州市）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
【考点】一次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数的性质
【分析】根据题意写出一个一次函数即可．
解：设该函数的解析式为y＝kx+b，
∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，
∴
解得：，
所以函数的解析式为y＝﹣x+1，
故答案为：y＝﹣x+1．
【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．
13.（2019年山东省潍坊市）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【考点】一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.（2017年甘肃兰州市）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．
15.（2017年河北省）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
【考点】二次函数的性质；实数大小比较．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣}=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
解：min{﹣，﹣}=﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为：；2或﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及二次函数的性质，关键是正确理解题意．
16.（2018年黑龙江省哈尔滨市）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
17.（2018年四川省德阳市）已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=a成立的x值恰好有3个的a值．
解：函数y=的图象如图：
根据图象知道当y=2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a=2．
故答案：2．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
18.（2018年黑龙江省牡丹江市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点，可得abc＞0，则可判断①，根据图象可得x=﹣3时y＜0，代入解析式可判断②，根据抛物线与x轴的交点个数可判断③．根据a﹣b=﹣a＞0，可判断④
解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x=﹣1
∴=﹣1
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x=﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴△=b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断
解答题
19.（2019年浙江省宁波市）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值，
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a，
（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值，
②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可，
解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3，
∴顶点坐标为（﹣1，2），
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11，
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
20.（2019年山东省威海市）在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y甲
……
6
3
2
3
6
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y乙
……
﹣2
﹣1
2
7
14
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式，
（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大，
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【考点】根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点
【分析】（1）由甲同学的错误可知c＝3，由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2，x＝1，y＝2，代入解析式求出a和b即可，
（2）y＝﹣3x2+2x+3的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，
（3）﹣3x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，判别式△＞0即可，
解：（1）由甲同学的错误可知c＝3，
由甲同学提供的数据选x＝﹣1，y＝6，x＝1，y＝2，
有，
∴，
∴a＝1，
由甲同学给的数据a＝1，c＝3是正确的，
由乙同学提供的数据，可知c＝﹣1，
选x＝﹣1，y＝﹣2，x＝1，y＝2，
有，
∴，
∴a＝1，b＝2，
∴y＝x2+2x+3，
（2）y＝x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥﹣1时，y的值随x的值增大而增大，
故答案为≥﹣1，
（3）方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣4（3﹣k）＞0，
∴k＞2，
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求函数解析式，熟练函数图象是解题的关键．
21.（2019年浙江省台州市）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式，
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式，
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b，
（2）m＝﹣，n＝，得n＝2b﹣m2，
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0，此时y＝x2，最大值与最小值之差为25，当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b，
当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，b＝6，当最大值25﹣3b时，b＝2，
解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b，
（2）m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2，
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴x＝﹣，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0，
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25，（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴﹣4≤x＝﹣≤0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，
当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b，
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4≤b≤8，
∴b＝6，
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵2≤b≤4，
∴b＝2，
综上所述b＝2或b＝6，
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．
22.（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．
解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x=1代入抛物线解析式得：y=7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y=kx+2，
把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴=，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2或QH=3，
当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
