高中物理教科版必修1学案 牛顿第二定律与单位制 Word版含解析

牛顿运动定律与单位制
【考纲解读与考频分析】
牛顿第二定律是中学物理核心知识，单位制是考纲要求的知识点，高考对牛顿第二定律考查频繁。
【高频考点定位】：
牛顿第二定律 单位制
考点一：单位制
【3年真题链接】
1.（2019年4月浙江选考）下列物理量属于基本量且单位属于国际单位制中基本单位的是（ ）
A. 功／焦耳 B. 质量／千克 C. 电荷量／库仑 D. 力／牛顿
【参考答案】B
【名师解析】
质量是国际单位制的基本量，其单位是千克，其他三个都不是基本量，其对应的单位也不是基本单位；故选B.
2.（2019高考理综天津卷）（1）第26届国际计量大会决定，质量单位“千克”用普朗克常量定义，“国际千克原器”于2019年5月20日正式“退役”的数值为，根据能量子定义，的单位是______，该单位用国际单位制中的力学基本单位表示，则为______。
【参考答案】J·s kgm2/s
【名师解析】根据能量子定义，E=hν，的单位是J·s。由于1J=1N`m=1kgm/s2·m=1 kgm2/s2，该单位用国际单位制中的力学基本单位表示，则为kgm2/s2·s= kgm2/s。
3．（2015安徽高考）由库仑定律可知，真空中两个静止的点电荷，带电量分别为q1和q2，其间距离为r时，它们之间相互作用力的大小为，式中k为静电力常量。若用国际单位制的基本单位表示，k的单位应为
A．kg·A2·m3 B．kg·A-2·m3·s-4 C．kg·m2·C-2 D．N·m2·A-2
【参考答案】B
【名师解析】
将公式变形可得k= ，若用国际单位制的基本单位表示，k的单位应为N·m2·C-2，而1N=1kg·m·s-2，1C=1A·s，所以k的单位应为kg·A-2·m3·s-4，选项B正确。
【2年模拟再现】
1.（2019洛阳联考）图示为一个半径为R的均匀带电圆环，其单位长度带电量为η。取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上任意点P到O点的距离为x，以无限远处为零势，P点电势的大小为Φ。下面给出Φ的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的电势Φ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，Φ的合理表达式应为 （ ）

A. B. C. D.
【参考答案】A
【名师解析】电势的单位是V，1V=1N?m/C．选项A的等式右边单位是N?m/C，与等式左边单位相同，从量纲角度看意义合理．故选项A正确．选项B的等式右边单位是N?m2/C2，与等式左边单位不同，B项不合理．故B错误．选项C的等式左右两边单位相同，但从数学角度分析，当x＞R时根号内R2-x2＜0，没有意义了，选项C项不合理．故C错误．选项D的等式右边单位是1N?m2/C，与等式左边单位不同，D项不合理．故D错误．
2．（2019西安联考）物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系，则根据单位间的关系可以判断物理关系式是否可能正确。某组同学在探究“声速v与空气压强P和空气密度ρ的关系”时，推导出四个空气中声速的关系式，式中k为比例常数，无单位。则可能正确的关系式是( )
A．v= B．v= C．v= D．v=
【参考答案】A
【名师解析】根据量纲分析可知，可能正确的关系式是A。
3．（2018兰州联考）“约瑟夫森结”由超导体和绝缘体制成，若在结两端加恒定电压U，则它会辐射频率为v的电磁波，且与U成正比，即v=kU.已知比例系数k仅与元电荷e的2倍和普朗克常量h有关。你可能不了解此现象为机理，但仍可运用物理学中常用的方法。在下列选项中，推理判断比例系数k的值可能为( )
A． B．　 C． D．
【参考答案】B
【名师解析】由公式ν=kU可知，k的单位为(sV)-1。元电荷e的单位是C。普朗克常量h的单位是Js，又可以表示为VCs，由四个选项的量纲分析可知，只有2e/h的量纲(sV)-1，所以比例系数k的值可能为2e/h，选项B正确。
考点二：牛顿第二定律
【3年真题链接】
1. （2019年4月浙江选考）如图所示，A、B、C为三个实心小球，A为铁球，B、C为木球。A、B两球分别连在两根弹簧上，C球连接在细线一端，弹簧和细线的下端固定在装水的杯子底部，该水杯置于用绳子悬挂的静止吊篮内。若将挂吊篮的绳子剪断，则剪断的瞬间相对于杯底（不计空气阻力，ρ木＜ρ水＜ρ铁）（ ）
A. A球将向上运动，B、C球将向下运动 B. A、B球将向上运动，C球不动
C. A球将向下运动，B球将向上运动，C球不动 D. A球将向上运动，B球将向下运动，C球不动
【答案】D
【解析】开始时A球下的弹簧被压缩，弹力向上；B球下的弹簧被拉长，弹力向下；将挂吊篮的绳子剪断的瞬时，系统的加速度为g，为完全失重状态，此时水对球的浮力为零，小球的重力也可视为零，则A球将在弹力作用下向上运动，B球将在弹力作用下向下运动，C球不动；故选D.
2．（2017年4月浙江选考）游船从某码头沿直线行驶到湖对岸，小明对过程进行观测记录数椐如下表
运动过程
运动时间
运动状态
匀加速运动
0~40s
初速度v0=0；末速度v=4.2m/s
匀速运动
40s~640s
v=4.2m/s
匀减速运动
640s~720s
靠岸时v1=0.2m/s
（1）求游船匀加速运动过程中加速度大小a1及位移大小x1；
（2）若游船和游客的总质量M=8000kg，求游船匀减速运动过程中所受的合力大小F；
（3）求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
【名师解析】（1）船匀加速运动过程中加速度大小 a1== m/s2=0.105m/s2,
匀加速运动时间：t1=40s，
匀加速运动位移大小为x1=a1t12=×0.105×402m=84m
（2）游船匀减速运动过程的加速度大小 a2== m/s2=0.05m/s2,
? 根据牛顿第二定律得到F=Ma2=8000×0.05N=400N所以游船匀减速运动过程中所受的合力大小F=400N
（3）匀加速运动过程位移x1=84m，
??匀速运动时间t2=640s-40s=600s?，
? 匀速运动位移x2=vt2=4.2×(640-40)m=2520m匀减速运动时间t3=720s-640s=80s，
匀减速运动过程位移x3=（v+v1） t3=×（4.2+0.2）×80m=176m总位移x= x1+ x2+ x3=84m+2520m+176m=2780m行驶总时间为t=720s所以整个过程中行驶的平均速度大小v=x/t=3.86m/s。
3.（2018年11月浙江选考物理） 如图所示为某一游戏的局部简化示意图。D为弹射装置，AB是长为21m的水平轨道，倾斜直轨道BC固定在竖直放置的半径为R=10m的圆形支架上，B为圆形的最低点，轨道AB与BC平滑连接，且在同一竖直平面内。某次游戏中，无动力小车在弹射装置D的作用下，以v0=10m/s的速度滑上轨道AB，并恰好能冲到轨道BC的最高点。已知小车在轨道AB上受到的摩擦力为其重量的0.2倍，轨道BC光滑，则小车从A到C的运动时间是（ ）
A. 5s B. 4.8s C. 4.4s D. 3s
【参考答案】A
【名师解析】小车在水平轨道上运动，由0.2mg=ma，解得加速度大小a=0.2g。运动到B点时，由v2= v02-2aL，解得v=4m/s，小车从A到C的运动的平均速度=m/s，小车从A到C的运动时间是t1==3s. 设斜直轨道BC长s，倾角为θ，由几何关系可得：sinθ=，小车在倾斜轨道上运动的加速度a=gsinθ=，v2=2as，在BC上运动时间是t2=，联立解得：t2=2s。小车从A到C的运动时间是t= t1+t2=5s选项A正确。
4．（2017年4月浙江选考）游船从某码头沿直线行驶到湖对岸，小明对过程进行观测记录数椐如下表
运动过程
运动时间
运动状态
匀加速运动
0~40s
初速度v0=0；末速度v=4.2m/s
匀速运动
40s~640s
v=4.2m/s
匀减速运动
640s~720s
靠岸时v1=0.2m/s
（1）求游船匀加速运动过程中加速度大小a1及位移大小x1；
（2）若游船和游客的总质量M=8000kg，求游船匀减速运动过程中所受的合力大小F；
（3）求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
【名师解析】
（1）船匀加速运动过程中加速度大小 a1== m/s2=0.105m/s2,
匀加速运动时间：t1=40s，
匀加速运动位移大小为x1=a1t12=×0.105×402m=84m
（2）游船匀减速运动过程的加速度大小 a2== m/s2=0.05m/s2,
? 根据牛顿第二定律得到F=Ma2=8000×0.05N=400N所以游船匀减速运动过程中所受的合力大小F=400N
（3）匀加速运动过程位移x1=84m，
??匀速运动时间t2=640s-40s=600s?，
? 匀速运动位移x2=vt2=4.2×(640-40)m=2520m匀减速运动时间t3=720s-640s=80s，
匀减速运动过程位移x3=（v+v1） t3=×（4.2+0.2）×80m=176m总位移x= x1+ x2+ x3=84m+2520m+176m=2780m行驶总时间为t=720s所以整个过程中行驶的平均速度大小v=x/t=3.86m/s。
【2年模拟再现】
1.（6分）（2019河南开封三模）如图所示，质量都为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时B与A分离。则下列说法中正确的是（　　）
A．B和A刚分离时，弹簧为原长 B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于 D．在B与A分离之前，它们做匀加速运动
【参考答案】C
【名师解析】B和A刚分离时，B受到重力mg和恒力F，B的加速度为零，A的加速度也为零，说明弹力对A有向上的弹力，与重力平衡，弹簧处于压缩状态。故AB错误。B和A刚分离时，弹簧的弹力大小为mg，原来静止时弹力大小为2mg，则弹力减小量△F＝mg．两物体向上运动的距离为h，则弹簧压缩量减小△x＝h，由胡克定律得：k＝＝．故C正确。对于在B与A分离之前，对AB整体为研究对象，重力2mg不变，弹力在减小，合力减小，整体做变加速运动。故D错误。
2．（6分）（2019山东枣庄二模）如图所示，用轻质细绳将条形磁铁悬挂于天花板上，处于悬空状态，现将一铁块置于条形磁铁下方，系统处于静止状态。关于磁铁和铁块受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．条形磁铁一定受3个力 B．铁块一定受2个力
C．若烧断细绳，则铁块一定受2个力 D．若烧断细绳，则条形磁铁一定受3个力
【参考答案】D
【名师解析】如果磁铁对铁块的吸引力大于铁块的重力，则二者之间有弹力，如果磁铁对铁块的吸引力等于铁块的重力，则二者之间没有弹力，由此分析受力情况。
条形磁铁受到重力、绳子拉力、铁块的吸引力，也可能受到铁块的弹力，也可能不受铁块的弹力，故A错误；铁块受到重力、磁铁的吸引力，可能受到磁铁的弹力，也可能不受弹力，故B错误；若烧断细线，二者一起做自由落体运动，由牛顿第二定律可知，铁块一定受到受到重力、磁铁的吸引力，磁铁的弹力3个力作用，故C错误；若烧断细绳，条形磁铁受到重力、铁块的弹力、铁块的吸引力3个力，故D正确。
3.如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ）
A．小车静止时，，方向沿杆向上 B．小车静止时，，方向垂直于杆向上
C．小车向右以加速度a运动时，一定有 D．小车向左匀速运动时，，方向竖直向上
【参考答案】D
【思路点拨】：
【名师解析】小车静止时，球受到重力和杆的弹力作用，由平衡条件可得杆对球的作用力F＝mg，方向竖直向上，选项A．B错误；小车向右以加速度a运动时，只有当a＝gtan θ时，才有F＝，如图所示，选项C错误；小车向左匀速运动时，根据平衡条件知，杆对球的弹力大小为mg，方向竖直向上，选项D正确。
预测考点一：单位制
【2年模拟再现】
（2019广东七校联合体冲刺模拟）第26届国际计量大会通过“修订国际单位制”决议，正式更新包括国际标准质量单位“千克”在内的4项基本单位。“千克”由量子力学中普朗克常数为基准进行了重新定义。请用你学过的知识判断下列质量表达式（其中a、b为无单位常数，f为频率，h为普朗克常数，g为重力加速度，u为速度）可能正确的是（　　）
A. B. C. D.
【参考答案】A【名师解析】频率ν的单位是Hz即s-1，h的单位J?s，g的单位是m/s2，动能的单位是J，a、b为无单位常数，代入各式可得。A选项中等式右边的单位是=s2m-2?J，由动能达达式Ek=mv2，知J=kg?m2s-2能得到kg=s2?m-2?J，左边和右边单位相同，故A正确。B选项中等式右边的单位是=J?s3/m3=kg?s/m，与质量的单位不同，故B错误。C选项中等式右边的单位是=J?s2/m=kg?m，与质量的单位不同，故C错误。D选项中等式右边的单位是J?s═J?s2/m=kg?m，与质量的单位不同，故D错误。2.（2019浙江嘉兴、丽水联考模拟）关于下列物理常量，单位正确的是（ ）
A．引力常量G的单位为N·kg2/ m2， B．动摩擦因数μ N/kg
C. 弹簧劲度系数k N/m D．电阻率ρ Ω/m
【参考答案】.C
【命题意图】 本题考查对一些物理常量单位的知道及其相关的知识点。
【解题思路】由万有引力定律F=G可知引力常量G的单位为N·m2/kg2，选项A错误；由摩擦力公式F=μFN可知动摩擦因数μ无单位，选项B错误；由胡克定律F=kx可知弹簧劲度系数k的单位为N/m，选项C正确；由电阻定律R=ρL/S可知，电阻率ρ的单位为Ω·m，选项D错误。
3.（2019浙江稽阳联谊学校联考）第26届国际计量大会于2018年11月通过决议，正式更新了千克、安培、开尔文和摩尔四个基本单位的定义，国际测量界的百年夙愿终于实现﹣﹣国际测量体系将全部建立在基本物理常数上，大大提高了计量的稳定性和精确性。比如，最受关注的“千克”，不再以具体实物的质量来定义，而将以量子力学中的普朗克常数h为基准，经过一系列物理换算，算出质量。已知普朗克常数与频率的乘积可以表示能量，下列属于用国际单位制的基本单位来表示普朗克常数h单位的是（　　）
A．J/s B．kg·m2/s C．kg?m2/s3 D．N?m?s
【参考答案】B
【名师解析】由E=hv可得h的单位为Js，根据重力势能表达式，E=mgh，能量单位J可表示为kg·m/s2·m，所以用国际单位制的基本单位来表示普朗克常数h单位的是kg·m2/s，选项B正确。
【1年仿真原创】
1.物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系。如关系式U=IR既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V（伏）与A（安）和（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、（欧）和T（特），由他们组合成的单位都与电压单位V（伏）等效的是（ ）
A. J/C和N/C B. C/F和T·m2/s C. W/A和C·T·m/s D. W·Ω和T·A·m
【参考答案】B
【名师解析】
由电场力功公式W=qU可知选项A中J/C与电压单位等效，而N/C是电场强度单位，选项A错误；由电容量定义C=Q/U可知选项B中单位C/F与电压单位等效，由法拉第电磁感应定律E=BLv可知，T·m2/s与电压单位等效，选项B正确；由电功率P=UI可知，W/A与电压单位等效，而由洛伦兹力公式F=qvB可知，C·T·m/s与力的单位N等效，选项C错误；由功率公式P=U2/R可知W·Ω与电压单位等效，而由安培力公式F=BIL可知T·A·m与力的单位等效，选项D错误。
2. 在国际单位制（简称SI）中，力学和电学的基本单位有：m（米）、kg（千克）、s（秒）、A（安培）。导出单位V（伏特）用上述基本单位可表示为（ ）
A．m2·kg·s-4·A-1 B．m2·kg·s-3·A-1. C．m2·kg·s-2·A-1. D．m2·kg·s-1·A-1.
【参考答案】B
【名师解析】由Fx=qU，F=ma，x=at2，q=It可知，U=Fx/q=2mx2/It3，导出单位V（伏特）用上述基本单位可表示为m2·kg·s-3·A-1.，选项B正确。
预测考点二：牛顿第二定律）
【2年模拟再现】
1.（2018石家庄一模）如图所示，AB为竖直平面内某圆周的竖直直径，CD 为过O点且与AB成60°夹角的固定光滑细直杆，两细直杆上各套有一个小球，小球可视为质点。两小球分别从C点由静止释放，小球从C点运动到D点所用的时间为t1，另一小球从C点运动到B点所用的时间为t2，则t1∶t2等于（ ）

A．1∶1 B．2∶1 C．∶1 D．∶2
【参考答案】.C
【命题意图】 本题考查牛顿运动定律、匀变速直线运动规律及其相关的知识点。
【解题思路】对沿CD光滑细杆上运动的小球，由牛顿第二定律，mgsin30°=ma1，解得a1=g/2；设CD=d，由匀变速直线运动规律，d=a1t12，解得t1=2。对沿CB光滑细杆上运动的小球，由牛顿第二定律，mgsin60°=ma2，解得a2=g/2；光滑杆CB=d sin60°=d/2，由匀变速直线运动规律， d/2=a2t22，解得t2=。t1∶t2=2∶=∶1，选项C正确。
【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把该题的情景误认为是等时圆模型，导致错选A；二是不能正确运用相关数学知识得出CB光滑光滑杆的长度和倾角；三是没有正确运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律，导致计算错误。
2.(2019浙江稽阳联谊学校联考模拟)2019年1月4日上午10时许，科技人员在北京航天飞行控制中心发出指令，嫦娥四号探测器在月面上空开启发动机，实施降落任务。在距月面高为H＝102m处开始悬停，识别障碍物和坡度，选定相对平坦的区域后，先以a1匀加速下降，加速至v1＝4ms/时，立即改变推力，以a2＝2m/s2匀减速下降，至月表高度30m处速度减为零，立即开启自主避障程序，缓慢下降。最后距离月面2.5m时关闭发动机，探测器以自由落体的方式降落，自主着陆在月球背面南极艾特肯盆地内的冯?卡门撞击坑中，整个过程始终垂直月球表面作直线运动，取竖直向下为正方向。已知嫦娥四号探测器的质量m＝40kg，月球表面重力加速度为1.6m/s2．求：
（1）嫦娥四号探测器自主着陆月面时的瞬时速度大小v2；
（2）匀加速直线下降过程的加速度大小a1；
（3）匀加速直线下降过程推力F的大小和方向。
【命题意图】 本题以嫦娥四号着陆月球为情景，考查匀变速直线运动规律、牛顿运动定律及其相关的知识点。
【解题思路】（1）距离月面2.5m时关闭发动机，探测器以自由落体的方式降落，
由v22＝2g′h2得：v2＝m/s
（2）由题意知加速和减速发生的位移为：h＝102m﹣30m＝72m
由位移关系得： +＝h
解得：a1＝1m/s2
（3）匀加速直线下降过程由牛顿第二定律得：mg′﹣F＝ma1
解得：F＝24N，方向竖直向上。
3.（2019河北邯郸一模）如图所示，足够长的木板与水平地面间的夹角θ可以调节，当木板与水平地面间的夹角为37°时，一小物块（可视为质点）恰好能沿着木板匀速下滑。若让该物块以大小v0＝10m/s的初速度从木板的底端沿木板上滑，随着θ的改变，物块沿木板滑行的距离x将发生变化。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求物块与木板间的动摩擦因数μ；
（2）当θ满足什么条件时，物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出该最小距离。
【名师解析】（1）当θ＝37°时，设物块的质量为m，物块所受木板的支持力大小为FN，对物块受力分析，有：
mgsin37°＝μFN
FN﹣mgcos37°＝0
解得：μ＝0.75。
（2）设物块的加速度大小为a，则由牛顿第二定律得：mgsinθ+μtmgcosθ＝ma
设物块的位移为x，则有：v02＝2ax
解得：
令tana＝μ，可知当α+θ＝90°，即θ＝53°时x最小
最小距离为：xmin＝4m。
答：（1）物块与木板间的动摩擦因数是0.75；
（2）当θ＝53°时，物块沿木板向上滑行的距离最小，最小距离是4m。
【1年仿真原创】
1．如图所示，台秤上放有盛水的杯，杯底用细绳系一木质的小球，若细线突然断裂，则在小木球上浮到水面的过程中，台秤的示数将 (????)．
A．变小????B．变大??????C．不变??????D．无法确定
【参考答案】A?
【名师解析】本题若用隔离法进行受力分析，再通过对运动过程的分析、定量推理、再比较判断，就太费时、费力.如果从整体思维出发,对系统看是失重的成分大还是超超重的成分大，就比较简捷，起到了化繁为简的效果.将容器和木球看做整体，整体受竖直向下的重力和台秤竖直向上的支持力N，当细线被剪断后，其实际效果是:在本球向上加速运动的同时，木球上方与该木球等体积的水球，将以同样大小的加速度向下加速流动，从而填补了木球占据的空间，由于ρ水>ρ木，水球的质量大于木球的质量，因此木球和水所组成的系统其质心有向下的加速度，整个系统将处于失重状态，故台秤的示数将变小.
2.如图所示，点P位于倾角为37°的斜面底端Q的正上方22.5cm处。现从P点向斜面搭建一光滑倾斜直轨道，使小物块从P点由静止开始沿该轨道滑至斜面，g取l0m/s2。则小物块滑至斜面的最短时间为（ ）
A. 0. 1s B. 0. 2s C. 0. 3s D. 0. 4s
【参考答案】.B
【命题意图】本题考查等时圆模型、牛顿运动定律、匀变速直线运动规律及其相关的知识点。
【解题思路】在线段PQ上找一点O，O点到P点的距离和到斜面的距离相等，以O点为圆心，以PO为半径做一圆，该圆与斜面的切点为M，如图。设OQ=L，PO=R，由图中几何关系得：R=Lsin53°，R+L=22.5cm，小物块沿PM滑至斜面的最短时间为t，小物块沿PM滑动的加速度为a，则有PM=2Rcos18.5°，ma=mgcos18.5°，PM=at2，联立解得：t=0.2s，选项B正确。
【方法归纳】此题为等时圆模型。从竖直面内等时圆的最高点沿光滑杆滑至等时圆周上任意点的时间都相等。从竖直面内等时圆周上的任意点沿光滑杆滑至等时圆的最低点的时间都相等。
3.如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m.已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
【答案】　(1)3 m/s2　8 m/s　(2)30°　 N
【名师解析】　(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得L＝v0t＋at2①
v＝v0＋at②
联立①②式，代入数据得a＝3 m/s2③
v＝8 m/s④
(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
Fcos α－mgsin θ－Ff＝ma⑤
Fsin α＋FN－mgcos θ＝0⑥
又Ff＝μFN⑦
联立⑤⑥⑦式得
F＝⑧
由数学知识得cos α＋sin α＝sin(60°＋α)⑨
由⑧⑨式可知对应最小F的夹角α＝30°⑩
联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为
Fmin＝ N