4.4 探索三角形相似的条件 同步练习（解析版）

初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.4 探索三角形相似的条件
一、单选题
1.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（?? ）
A.?3对???????????????????????????????????????B.?5对???????????????????????????????????????C.?6对???????????????????????????????????????D.?8对
2.下列命题中，是真命题的是（?? ）
A.?两直线平行，内错角相等????????????????????????????????????B.?两个锐角的和是钝角C.?直角三角形都相似??????????????????????????????????????????????D.?正六边形的内角和为360°21世纪教育网版权所有
3.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ??）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
4.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是(?? )
A.?∠B＝∠D???????????????????????B.?∠C＝∠AED???????????????????????C.?＝ ???????????????????????D.?＝
5.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（??? ）
A.?∠ADC＝∠ACB???????????????????B.????????????????????C.?∠ACD＝∠B???????????????????D.?AC2＝AD?AB
6.如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（?? ）

A.?2对???????????????????????????????????????B.?3对???????????????????????????????????????C.?4对???????????????????????????????????????D.?5对
7.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（?? ）www-2-1-cnjy-com
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
二、填空题
8.如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是________ 2-1-c-n-j-y
9.如图，若使△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是________．

三、综合题
10.已知∠MON＝90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A与点O重合，顶点C在∠MON内部 21*cnjy*com
（1）当点A在射线OM上移动到A1时，连接A1B，请在∠MON内部作出以A1B为一边的等边三角形A1BC1(保留作图痕迹，不写作法)； 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）设A1B与OC交于点Q，BC的延长线与A1C1交于点D.求证：△BCQ∽△BA1D；
（3）连接CC1 ， 试猜想∠BCC1为多少度，并证明你的猜想.
11.已知四边形ABCD中，AD∥BC， ，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足 . 【版权所有：21教育】
（1）如图8，当点E在线段AD上时，若AB=AD，在线段AB上截取AG=AE，联结GE.
求证：GE=DF；
（2）如图9，当点E在线段AD的延长线上时，若AB=3，AD=4， ，设 ， ，求 关于 的函数关系式及其定义域； 21教育网
（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长.
12.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. 21*cnjy*com

（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
13.如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90°.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AC＝6cm，AD＝4 cm，求AB的长.
14.如图甲，点C将线段AB分成两部分（AC＞BC），如果 = ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S1 ， S2（S1＞S2）的两部分，如果 = ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图丙，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上的一点，（不与A，B重合）过D作DE⊥BC于点E，连接AE，CD相交于点F，连接BF并延长，与DE，AC分别交于点G，H．请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗？并说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1. C
解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。21·世纪*教育网
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA，从而即可得出答案。21教育名师原创作品
2. A
解：A、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；
B、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
C、所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；
D、正六边形的内角和为720°，故错误，是假命题。
故答案为：A。
【分析】根据平行线的性质、钝角及锐角的定义、相似三角形的判定方法、正多边形的内角和公式即可一一判断得出答案。【出处：21教育名师】
3. B
解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
4. C
解：DBAD=DCAE，
A，B，D都可判定 ，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可证得∠BAC=∠DAE，要证△ABC∽△ADE，因此可以添加另外的两组角对应相等，可对A，C作出判断；还可以添加∠BAC和∠DAE的两边对应成比例，可对C，D作出判断。
5. B
解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD?AB，即 ，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析? △ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。
6. C
解：∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故答案为：C．
【分析】根据”两角对应相等，两三角形相似“可判断出图中的相似三角形共有4对。
7. B
解：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，21cnjy.com
故答案为：B.
【分析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，21·cn·jy·com
二、填空题
8. ∠B=∠E(答案不唯一)
解：∵ = ， ∠B=∠E ∴ △ABC ∽△ADE 故答案为：∠B=∠E www.21-cn-jy.com
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
9. ∠ACD=∠B（答案不唯一）．
解：△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是∠ACD=∠B．理由如下：
∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由图形可知：两个三角形中已经具有一个公共角∠A，根据相似三角形的判定方法，可以再添加一个角对应相等，或者夹相等角的两边对应成比例即可。
三、综合题
10. （1）解：如图所示：
（2）解：∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠BCQ＝∠BA1D＝60°，
∵∠A1BD＝∠QBC，
∴△BCQ∽△BA1D（3）解：猜想∠BCC1＝90°，
∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB，
∴∠ABA1＝∠CBC1 ，
在△A1BA和△C1BC中： ，
∴△A1BA≌△C1BC（SAS），
∴∠BCC1＝∠BAA1＝90°.
解析：（1）利用尺规作图法，分别以点A1,B为圆心，A1B为半径画弧，两弧相交于∠MON内部一点C1 ， 连接A1C1 ， BC1即可； （2）根据等边三角形的每一个内角都等于60°得出 ∠BCQ＝∠BA1D＝60°， 根据公共角相等得出 ∠A1BD＝∠QBC， 根据有两组角对应相等的三角形相似得出 △BCQ∽△BA1D ； （3） 猜想∠BCC1＝90°， 理由如下：根据等边三角形的性质得出 ∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB， 故 ∠ABA1＝∠CBC1 ， 从而利用SAS判断出 △A1BA≌△C1BC ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BCC1＝∠BAA1＝90 °。2·1·c·n·j·y
11. （1）证明：∵ ，
∴ .
∵AD∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ，
又 ，
∴ .
∵ ，
∵ ，
∴ .
又AB=AD，AG=AE，
∴BG=ED，
∴ ≌ ，
∴GE=DF.
（2）解：在射线AB上截取AH=AE，联结EH.
∵ ， ，
又 ，
∴ .
∵AD∥BC，
∴ ， .
∵AH=AE，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ .
∴ .
过点H作HP⊥AE，垂足为点P.
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ .
∵AB=3，AD=4， ， ，
∴ ，
∴ .
（3）解：记EH与BC相交于点N.
∵ ∽ ， ，
∴ ，或 .
若 ，又 ，矛盾，∴此情况不存在.
若 ，∵ ∽ ，∴ ，
∴ .
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴线段AE的长为 .
解：（1）由AG=AE，可得， 再根据同旁内角互补和邻补角的定义，可得。从而继而可得， 从而可证≌， 故GE=DF； （2）通过证明两组角对应相等得到∽， 得到， 设出， 表达出AP、PH、PE、EH，从而可表达出DF，即y； （3）若△EMF与△ABE相似，有对应角相等，从?得出矛盾，可知不存在，当时能得， 根据AD∥BC能得， 代入可求得线段AE长。【来源：21·世纪·教育·网】
12. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3?? ∴△ADF∽△DEC
（3）解：∵AE⊥BC，∴AE⊥AD
∴DE=
由上可得△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴
∴
∴AF=
解：（1）由平行四边形对角相等可知：∠AFE=∠B=∠ADC；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知∠AFE=∠ADF+DAF，即可得∠DAF＝∠CDE； （2）利用对应两角相等的两个三角形相似即可得证； （3）利用勾股定理可求出DE长，再由（2）中已证的相似三角形的性质即可求出AF长。
13. （1）证明：∵AB平分∠CAD
∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠D=90o
∴△ABC∽△ADB
（2）解：由（1）得△ABC∽△ADB
∴ ，
即
∴ .
解：（1）由两组角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）由（1）中已证的相似三角形性质可找出AC、AD、AB的关系，代入数值即可求出AB。
14.（1）解：点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD，
∴BC=AD．
在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴点D是AB边上的黄金分割点．
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
证明：设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC= ?AB?h，S△ACD= ?AD?h，S△BCD= ?BD?h，
∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，
∴ ，???????????????????????????????????
∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD ，
∴CD是△ABC的黄金分割线．
（3）解：直线BH不是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵DE∥AC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴AH2=HC2 ，
∴AH=HC，
∴S△BHA=S△BHC= S△ABC ，
∴BH不是△ABC的黄金分割线．
解：（1）根据等边对等角得出∠B=∠ACB=72°，根据角平分线的定义及等量代换得出∠A=∠ACD，进而根据等角对等边得出AD=CD，BC=CD，从而得出BC=AD．然后判断出△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出=,从而得出=，从而得出结论点D是AB边上的黄金分割点；（2）设△ABC中，AB边上的高为h，根据三角形的面积公式，则S△ABC=?? AB?h，S△ACD=?AD?h，S△BCD=?? BD?h，故S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，故=，根据等量代换得S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD ， 从而得出结论；（3）直线BH不是△ABC的黄金分割线．理由如下：根据平行线分线段成比例定理得出AH2=HC2 ， 故AH=HC，从而S△BHA=S△BHC=?S△ABC ， 得出结论BH不是△ABC的黄金分割线．