4.6 利用相似三角形测高 同步练习（解析版）

初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.6 利用相似三角形测高
一、单选题
1.如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（??? ） 21cnjy.com
A.?2：3????????????????????????????????????B.?3：2????????????????????????????????????C.?9：4????????????????????????????????????D.?4：9
2.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(?? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?11m???????????????????????????????????D.?
3.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ??） www.21-cn-jy.com

A.?24m????????????????????????????????????B.?22m????????????????????????????????????C.?20m????????????????????????????????????D.?18m
4.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为(??? ) 【来源：21·世纪·教育·网】

A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
5.如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为(??? )
A.?60mm????????????????????????????B.??mm????????????????????????????C.?20mm????????????????????????????D.??mm
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（?? ） www-2-1-cnjy-com
A.?60m????????????????????????????????????B.?40m????????????????????????????????????C.?30m????????????????????????????????????D.?20m
二、解答题（共3题；共15分）
7.一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长． 2-1-c-n-j-y
8.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度.
9.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高。 21*cnjy*com

三、综合题（共1题；共15分）
10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD【出处：21教育名师】
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF;
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由. 【版权所有：21教育】

答案解析部分
一、单选题
1. D
解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ， 由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
2. A
解：如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得， 设AB＝x米,代入对应数据，求出x值即可.21·cn·jy·com
3. A
解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。21·世纪*教育网
4. C
解：∵ ， ，
∴AB∥CD
∴△AOB∽△COD，
∴ ?
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD,根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出， 根据比例式即可算出CD的长。【来源：21cnj*y.co*m】
5. A
解：设AD与PM交于点H PM：PQ=3：2 设PM=3x，PQ=2x 由题意可知PQ=HD=2x，则AH=80-2x ∵矩形ABCD ∴PM∥BC ∴ 解之：x=20 ∴PM=3x=3×20=60mm 故答案为：A 21教育名师原创作品
【分析】由PM：PQ=3：2，设PM=3x，PQ=2x，根据题意用含x的代数式表示出AH的长，再利用矩形的性质，可证得PM∥BC，就可证得△APM∽△ABC，利用相似三角形的对应边的比等于对应边上的高之比，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可求出PM的长。21*cnjy*com
6. B
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC。∴△EAB∽△EDC。∴ 。
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴ ，解得：AB＝40（m）。
故答案为：B。
【分析】先根据已知条件判定△EAB∽△EDC，再根据相似三角形的性质得， 然后将BE、EC、CD的值代入， 解所得比例方程即可求得AB的值。
二、解答题
7. 解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
解：由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
8. 解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ，
同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得BD＝6，
∴ ＝ ，
解得AB＝5.1.
答：路灯杆AB高5.1m.
解：根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得CD∥AB， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△ABF， 利用相似三角形的对应边成比例可得＝ ，同理可得 ＝ ，利用等量代换求出＝ ，把已知条件代入求出BD＝6， 再根据 ＝ 即可求路灯杆AB的高度.2·1·c·n·j·y
9. 解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴ ，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
解：根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得， 代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.
三、综合题
10. （1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
?? =20
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：连接OP
∵PA=DF，AD=DC，∠PAD=∠ADC
∴?? PAD≌?? FDC
又∵EC= ?? BE=ME= AB=1
∴MC= =FD
又∵PE=AP+AE= +1= =EC
∴∠EPC=∠ECP
又∵AB∥CD
∴∠EPC=∠DCF
∴∠PDA=∠ECP
∴?? PFD∽?? FMC（SAS）
∴MF=PF
（3）解：如图，在AD上取一点Q'，使AQ'=AQ，在BN上取一点B'，AB'=AB，连接B'Q'，做B'G⊥AD交EN于点K，交AD于点G21教育网
∵tan∠NBE=2，AB=AB'=2
∴BB'=
∴B'N=BN=BB'= "ANB'KOANBE
∵?? NB'K~?? NBE
∴B'K= ；KN= ；
∴B'G= ；DG=
∴Q'G=3- - =
在Rt?? B'GQ'中，∠B'GQ'=90°，有B'Q=
而（ -1）2≠
∴B'Q'≠（ -1）2
∴B'Q'≠BQ，点B'不在BN上
解：（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.（2）连结DP，根据全等三角形判定SAS得△PAD≌△FDC，由全等三角形性质得PA=FD= -1，在Rt△BEC中，由勾股定理求得EC长，从而可得MC=FD，由相似三角形判定得△PFD∽△FMC，根据相似三角形性质得 =1，由此可得PF=FM.（3）在AD上取一点Q′，使AQ′=AQ，在BN上取一点B′，AB′=AB，连结B′Q′，作B′G⊥AD交EN于点K，交AD于点G，根据锐角三角函数正切定义求得BB′=BN=B′N长，由相似三角形的性质求得B′K，KN,从而可得B′G，DG，Q′G长，在Rt△B′GQ′中,根据勾股定理求得B′Q′= ，而（ -1）2≠ ，即B′Q′≠（ -1）2 ， 从而可得点B′不在BN上.21世纪教育网版权所有