人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.1 曲线与方程

知识
1．曲线与方程的概念
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的________；
（2）以这个方程的________为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做________；这条曲线叫做________．
2．坐标法
借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的________，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这就是坐标法．
数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；
（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．
3．求曲线方程的一般步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合；
（3）用坐标表示条件________，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．
知识参考答案：
1．解 解 曲线的方程 方程的曲线 2．集合或轨迹 3．p(M)
重点
重点
曲线与方程的概念、坐标法
难点
求曲线的方程步骤及常用方法
易错
混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误
点与方程表示的曲线的位置关系的判断
如果曲线C的方程是，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是．它可用于判定点是否在曲线上：如果点的坐标满足曲线方程，则说明点在曲线上，否则说明点不在曲线上．
（1）已知方程x2＋y2－2y－3＝0，判断点A(2，1)，B(1，3)是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点C(m＋2，m)在方程(x－2)2＋y2＝18表示的曲线上，求实数m的值；
（3）若方程x2＋xy－ny＋6＝0表示的曲线经过点(2，5)，求n的值．
【答案】（1）点A在方程表示的曲线上，点B不在方程表示的曲线上；（2）m＝－3或3；（3）n＝4．
【名师点睛】判断点与曲线的位置关系需从曲线与方程的定义入手：
（1）要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
（2）若所给点在已知曲线上，则点的坐标满足已知曲线的方程，由此可求参数的值．
判断曲线与方程的关系及曲线类型
曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．
（1）判断过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系；
（2）判断命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”是否正确；
（3）求方程(x－y)＝0所表示的曲线．
【答案】（1）见解析；（2）不正确；（3）射线和直线．
【解析】（1）过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系只具备定义中的条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|＝2不是直线l的方程，直线l只是方程|x|＝1所表示图形的一部分．
（2）不正确．

（3）根据题意可得或，即或，
故原方程表示的是射线和直线．
【名师点睛】判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，化为我们熟悉的形式后根据方程的特征进行判断．变形过程一定要注意原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线，另外，变形的方法有配方法、因式分解等．
求曲线的方程
求曲线方程的常用方法：
方法一 直接法．根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x，y)的横纵坐标x，y满足的关系式，从而得到曲线方程．这是求曲线方程最基本的方法．
方法二 定义法．若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程．
方法三 代入法（即相关点法）．若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程．
（1）已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，过原点O作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程；
（2）已知在中，|BC|＝6，求直角顶点A的轨迹方程．
【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)；（2）x2＋y2＝9()．
方法2(定义法)：如图2所示，连接CQ，
因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则点Q在以OC为直径的圆上，
故点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)．
方法3(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得，即，
又(x1－2)2＋y12＝4，所以(2x－2)2＋4y2＝4，即(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)．

图1 图2 图3
（2）以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，
则有B(－3，0)，C(3，0)，设顶点A(x，y)．
方法1：由是直角三角形可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝62，化简得x2＋y2＝9．
依题意可知，．
故所求直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9()．
方法2：由是直角三角形可知AC⊥BC，所以，
则，化简得直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9()．
方法3：由是直角三角形可知|OC|＝|OA|＝|OB|，且点A与点B，C不重合，
所以x2＋y2＝32()，所以直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9()．
【名师点睛】（1）求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程，一般步骤为：建系、设点、列式、化简、检验；（2）求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；（3）由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．
混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误
如图，已知点，直线，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，求动点P的轨迹．
【错解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．
【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．
【正解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．
故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
基础训练
1．已知直线和曲线，则点满足
A．在直线上，但不在曲线上
B．既在直线上，也在曲线上
C．既不在直线上，也不在曲线上
D．不在直线上，但在曲线上
2．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
3．方程表示的曲线是图中的
4．“曲线上的点的坐标都是方程的解”是“曲线的方程是”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．方程(x+y-1)=0所表示的曲线是
6．平面上有三点，若，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．若C(-2，-2)，，且直线CA交x轴于A，直线CB交y轴于B，则线段AB的中点M的轨迹方程是
A．x+y+2=0 B．x-y+2=0
C．x+y-2=0 D．x-y-2=0
8．已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是
A．x+2y+3=0 B．x-2y-5=0
C．x-2y-7=0 D．x-2y+7=0
9．已知，点在曲线上，则的值为________________．
10．在等腰中，，已知点，，则点的轨迹方程为________________．
11．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则中点的轨迹方程是________________．
12．已知双曲线的一支C:y=和直线l:y=kx，若l与C有两个不同的交点A，B，则线段AB的中点的轨迹方程为________________．
13．已知两曲线的方程为C1：，C2：，判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标；若无交点，请说明理由．
14．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且．求点的轨迹方程．
能力提升
15．方程表示的曲线是
A．一条直线 B．两条直线
C．一个圆 D．两个半圆
16．如果曲线上的点满足方程，则下列说法正确的是
A．曲线的方程是
B．方程表示的曲线是
C．坐标满足方程的点在曲线上
D．坐标不满足方程的点不在曲线上
17．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形面积为
A． B．
C． D．
18．曲线与的交点坐标是
A．(2，1) B．(±2，1)
C．(2，1)或(，5) D．(±2，1)或(，5)
19．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足，则点P的轨迹方程为________________．
20．已知直线，为上的动点，为坐标原点，点分线段为两部分，则点的轨迹方程为________________．
21．如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，，试求动点的轨迹方程．

22．已知坐标平面上一点与两个定点，，且．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．
真题练习
23．（2019北京理）曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则的面积不大于．
其中，所有正确结论的序号是________________．
24．（2019四川模拟）在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为
；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A．
②单位圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称．
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是________________．
25．（2019山东模拟）已知点P(2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及的面积．
26．（2019海南模拟）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

参考答案
1．【答案】A
【解析】把的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．故选A．
2．【答案】A
【解析】设点的坐标为，则，
整理得．故选A．
3．【答案】D
【解析】分，；，；，；，四种情形去绝对值号，即可作出判断，其图形为条线段围成的图形，故选D．
4．【答案】B
5．【答案】D
【解析】原方程等价于或x2+y2-4=0，其中当x+y-1=0时，方程所表示的曲线是在直线x+y-1=0上且在圆x2+y2=4外的所有点．故选D．
6．【答案】A
【解析】∵，，
∵，∴，∴，即．故选A．
7．【答案】A
【解析】由题意可知，点M既是的斜边的中点，又是的斜边的中点，
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以，设，
则，化简得:．故选A．
8．【答案】D
【解析】设P(x0，y0)，则x0-2y0+3=0　(*)．又设Q(x，y)，由|PM|=|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即　(**)．将(**)代入(*)，得(-2-x)-2(4-y)+3=0，即x-2y+7=0．故选D．
9．【答案】或
【解析】由，得．又，所以或．
10．【答案】（除去点和）
11．【答案】
【解析】将化为，即，设抛物线上的点，的中点为，则，则，即中点的轨迹方程是．
12．【答案】(x-)2-y2=(x>2)　
【解析】设AB的中点为M(x0，y0)，联立，得(k2-1)y2+2ky-2k2=0，则y0=，x0=，消去k得-=x0，因为，所以2，所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x>2)．
13．【答案】曲线C1：与C2：无交点．
【解析】由方程组消去y得③，
因为，所以方程③无实数解，从而方程组无实数解，
因此曲线C1：与C2：无交点．
14．【答案】
15．【答案】D
【解析】由题意，得，即或，方程两边平方整理得，当时，是以为圆心，以为半径的右半圆；当时，是以为圆心，以为半径的左半圆．
综上，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形，故选D．
16．【答案】D
【解析】曲线的方程是需满足以下两个条件：①曲线上的点都满足方程；②满足方程的点都在曲线上．所以A，B，C都不完全正确．因为曲线上的点都满足方程，所以若点坐标不满足方程，则该点也不会在曲线上，D正确，故选D．
17．【答案】B
【解析】设，由可得，整理得，即．所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，故点的轨迹所包围的图形的面．故选B．
18．【答案】B
【解析】将代入，得，即，解得或，由于不符合题意，应舍去，所以，则，解得．故曲线与的交点坐标是(±2，1)，故选B．
19．【答案】x2＋y2＝16
【解析】设P(x，y)，则，于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程.
20．【答案】
21．【答案】．
【解析】设，，，则，，
由，得，即，，∴，．
又，∴，．
由，得，∴，得，
故动点的轨迹方程为．
22．【答案】（1），轨迹是以为圆心，以为半径的圆；（2）或．
【解析】（1）由，得，化简得，
所以点的轨迹方程是，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，
所以符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
圆心到的距离，由题意，得，解得．
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
23．【答案】②③
【解析】因为原点O到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；
因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；
因为，即面积不大于，所以③正确．
故填②③．
24．【答案】②③
25．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）圆C的方程可化为，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则，．
由题设知，故，即．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为．
又|OM|＝|OP|＝，点O到直线l的距离为，|PM|＝，所以的面积为．
26．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【思路分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．