人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1.1、3.1.2 空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算

知识
1．空间向量的定义
在空间中，我们把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
2．空间向量的表示方法
（1）几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的_____．
（2）符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量a，也可用有向线段的起点、终点的字母表示，如图所示，可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为，向量的模记为 或．
3．几个特殊的空间向量
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为
相等向量
方向相同且_____的向量称为相等向量
4．空间向量的加法和减法运算
已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，，如图1所示．
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：
，．
图1 图2
5．空间向量的加法运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：．
用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：

图1 图2
以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的．
6．空间向量的数乘运算
（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的______；当时，与向量a的______．的长度是向量a的长度的倍．
（3）空间向量的数乘运算律：①分配律：；②结合律：．
7．共线向量
（1）定义
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_______，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
（2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）
对于空间任意两个向量a，b，的充要条件是存在实数，使_______．
（3）共线向量定理的推论
如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，其中向量a叫做直线l的方向向量．
若在l上取，则①式可以化为 ②．
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定．
注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线．
8．共面向量
（1）定义
平行于_______的向量，叫做共面向量．
（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理）
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p_______．
（3）共面向量定理的推论
如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有 ③．③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
三点共线的充要条件
由共线向量定理的推论，我们可以得到空间三点共线的充要条件为，且.此结论经常使用.
知识参考答案：
1．大小 方向

7．（1）平行或重合 （2）
8．（1）同一个平面 （2）
重点
重点
空间向量的定义及其表示、空间向量的加减法运算及数乘运算
难点
共线向量、共面向量
易错
混淆平行直线与平行向量、混淆向量与平面平行和直线与平面平行
重点 空间向量的相关概念
理解向量的相关概念，关键是掌握几个重要概念：相等向量的模相等，方向相同；零向量的方向任意，模为零；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反．
下列有关空间向量的说法中正确的是
A．如果两个向量的模相等,那么这两个向量相等
B．如果两个向量的方向相同,那么这两个向量相等
C．如果两个向量平行且它们的模相等,那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解析】相等向量要求模相等且方向相同,故A和B错误；
平行向量可以方向相同也可以方向相反,故C错误;
D显然正确.
如图，在长方体中，，，，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，（1）写出模为的所有向量；（2）写出与相等的所有向量；（3）写出的相反向量；（4）单位向量共有多少个？
【答案】见解析．
【名师点睛】相等向量和相反向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也不一定是相反向量．
重点 空间向量的线性运算
向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
已知空间四边形ABCD,如图,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点.
化简下列各表达式,并在图中标出化简得到的向量.
（1）++;
（2）+(+);
（3）-(+).
【解析】（1）+++.如图所示.
（2）方法一：+(+)=++++.如图所示.
方法二：连接BG,
∵G是CD的中点,∴+=2.
∴+(+)=+.如图所示.
【名师点睛】（1）首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即，因此求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
（2）若首尾顺次相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即；
（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立，因此求起点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
难点 向量共线问题
判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使得成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到，即与共线．反之，当两个空间向量共线时，即存在实数，使得成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．
已知，，若，求实数的值.
【解析】∵，∴，
∴，
∴.
如图,在四棱锥V-ABCD中,VA=VB=VC=VD,,,.若H是MN的中点,求证:VA∥PH.
重点 三点共线问题
若A，B，C三点共线，则存在实数，使得，这是解决三点共线问题的突破口．
已知空间向量,且,则一定共线的三点为
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】由题意可得：，则，则A，B，D三点共线；
不存在实数满足，则A，B，C三点不共线；
不存在实数满足，则B，C，D三点不共线；
，不存在实数满足，则A，C，D三点不共线.
故选A.
设e1,e2是不共线的空间向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求k的值.
难点 空间向量的共面问题
（1）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面．
（2）向量p与a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
（3）若点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且，这也是判断四点共面的常用结论．
已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，
（1）若，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内；
（2）若点P在平面ABC内，且，求实数m的值．
【答案】（1）向量，，共面，点P在平面ABC内；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，即，
所以向量，，共面．
因为，，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，
所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内．
方法2：若点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，
则且，
利用此结论可得，解得．
【名师点睛】要证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
易错 混淆平行直线与平行向量而致错
已知下列命题：
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．
其中是真命题的有____________（填序号）．
【错解】①②③④
【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合．
【正解】①为真命题，若A，B，C，D在一条直线上，向量，方向相同或相反，因此与是共线向量；
②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，方向不确定，不能判断与是否是共线向量；
③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；
④为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，所以三点共线．
故填①④．
【名师点睛】平行直线与平行向量的区别与联系：①平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；②平行直线是指任何不重合的两条平行直线．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线．
易错 混淆向量与平面平行和直线与平面平行而致错
已知，是异面直线，，，，分别是，的中点．证明：．
【错解】因为，，且，是异面直线，
所以在平面内存在向量，使得，，且两个向量不共线．
因为，分别是，的中点，
所以．
根据共面向量定理知，所以．
【错因分析】由可知，表示向量的有向线段所在的直线与平面可能平行，也可能在平面内．错解没有理解向量与平面平行的含义．
【正解】因为，，且，是异面直线，
所以在平面内存在向量，使得，，且两个向量不共线．
因为，分别是，的中点，
所以，
所以，，共面，
所以或．
若，则，必在平面内，这与已知，是异面直线矛盾．
故．
【名师点睛】线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系．这就要求同学们在平时的学习中要充分理解定义、定理的实质．
基础训练
1．空间向量不可以做的运算是
A．加法 B．减法
C．数量积 D．除法
2．已知空间四边形中，，，，则
A． B．
C． D．
3．如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,+-=
A． B．
C． D．
4．在长方体中,为与的交点,若===,则下列向量与相等的是
A． B．
C． D．
5．已知为空间任意一点,三点不共线,若=，则四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是
①；②；③；④．
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②③④
7．已知空间四边形，连接，，则_________________．
8．如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,给定的下列各对向量:①与;②与;③与;④与.其中是相反向量的是　　　　.(填序号)
9．已知点P和不共线的三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________.
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O1为上底面A1B1C1D1的中心，若，则________________．
11．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
12．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面.
13．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，试判断与是否共线？请说明理由.
能力提升
14．设P是的重心，若，且，则=
A． B．
C． D．
15．已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O,则有下列结论:
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相反向量.
其中正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
16．已知空间四边形，，分别是与边上的点，，分别是与边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为
A．　　 B．
C． D．
17．如图，空间四边形中，若，，，分别为，，，的中点，则下列各式中成立的是
A． B．
C． D．
18．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
19．已知平行六面体，则下列四式中：
①；②；③；④．
正确式子的序号是_________________．
20．已知是空间任一点，，，，四点满足任三点均不共线，四点共面，且，则_________________．
21．已知点是矩形所在平面外一点，且平面，分别是上的点，分成定比，分成定比，求满足的实数的值．
22．（1）已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若，求的值；
（2）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数m的值．
23．已知在四面体中，，，，平面．证明：为的重心的充要条件是．
真题练习
24．（2019上海模拟）设，，，，是空间中给定的5个不同的点，则使
成立的点M的个数为
A．0 B．1
C．5 D．10
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
【解析】因为，所以,选B.
3．【答案】B　
【解析】+-+++.
4．【答案】B
【解析】由向量的三角形法则可得,
即,故选B．
5．【答案】C
【解析】因为=,且,所以四点共面.
6．【答案】D
7．【答案】
【解析】．故填．
8．【答案】③④
【解析】结合相反向量的定义,又由空间向量在空间中可以任意平移可知③④符合题意.
9．【答案】
【解析】由四点共面的充要条件可得：，
解得：.故答案为．
10．【答案】
【解析】因为
，所以，，
所以．故填．
11．【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
12．【解析】∵，，，
∴ ，
∴共面.

14．【答案】D
【解析】如图所示，由重心的性质可得：，
由平面向量的运算法则可得：，
则.故选D.
15．【答案】C
【解析】如图所示,
①=-,=-,则+=-(+),是一对相反向量;
②-+,-+,而,故不是一对相反向量;
③同①,+++与+++是一对相反向量;
④-+,-+=-,是一对相反向量.
16．【答案】B
17．【答案】B
【解析】∵，，，
∴．故选B．
18．【答案】A
【解析】由可得，
结合题意可知：，
即，，
据此可知，A，P，B三点共线，点P一定在直线AB上.故选A.
19．【答案】①②③
【解析】，①正确；
，②正确；
③显然正确；
，故④错误．
故填①②③．
20．【答案】
【解析】因为，，，四点共面，所以，
所以．故填．

22．【解析】（1）由于A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，即，
所以，所以，，所以．
（2）由，可得，
因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，即，
所以，解得．
【名师点睛】本题（1）中是一个重要的结论：空间A，B，C三点共线的充要条件为，且．但很容易忽略“O为直线外空间任意一点”这一条件，当O在直线上时，O可以与A点重合，这时，其前面的系数可以取任意实数，这时不一定有．
23．【解析】必要性：如图，连接并延长交于，
所以，
于是
，
因为，故，
解得，，于是为的重心．
综上，为的重心的充要条件是．
24．【答案】B
【解析】由题意，，，，是空间中给定的5个不同的点，如图，
假设点，，，，均匀分布在同一条直线上，易知当且仅当点M与点重合时，才能使，故使成立的点M的个数为1．