人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1.3 空间向量的数量积运算

知识
1．空间两向量的夹角
如图1，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则≤≤叫做向量，的夹角，记作．
由上述概念可知0≤≤，因此，两个向量的夹角是唯一确定的，且．
如图2，当时，向量，_______；
如图3，当时，向量，_______，记作；
如图4，当时，向量，_______．
因此，当时，或．
对于空间任意两个向量，，都有．
图1 图2 图3 图4
2．空间向量的数量积
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即_______．
类比平面向量，我们可得的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
由此可知，零向量与任何向量的数量积为_______．
3．空间向量数量积的性质
（1）若是非零向量，是任意单位向量，则．
（2）若，是非零向量，则．
（3）．
（4）若为与的夹角，则_______．
4．空间向量数量积的运算律
运算律1
运算律2 (交换律)
运算律3 (分配律)
注意：（1）向量的数量积记为，而不能表示为a×b或ab.
（2）向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.
知识参考答案：
1．同向共线 互相垂直 反向共线
2． 0
3．（4）
重点
重点
空间向量的数量积的概念及其运算律和运算性质
难点
利用数量积解决向量的共线与垂直问题、异面直线夹角的计算
易错
未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系、忽略两向量夹角的定义
重点 空间向量数量积的计算
已知空间两向量，的夹角为，，．求：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【名师点睛】根据数量积的定义求解即可，应注意准确确定向量的夹角．
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【解析】(1)在空间四边形ABCD中，，且，
∴；
(2)，，，
∴；
(3)，，
又∵，，
∴；
【名师点睛】在几何体中求空间向量的数量积时，
①充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
③利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
难点 利用数量积证明垂直问题
如图，在正方体中，为与的交点，为的中点．求证：平面.
【解析】设，，，则，，.
而，
，
.
∴
.
∴，∴.
同理可证，∴.
又且平面，
∴平面.
【名师点睛】（1）要证两直线垂直，由数量积的性质可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；
（2）用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
难点 利用数量积求异面直线的夹角
求几何体中异面直线的夹角，可将问题转化为求向量的夹角，步骤如下：
（1）依据夹角公式，求出的余弦值；
（2）若求出，则是异面直线所成的角；
若求出，则是异面直线所成的角，为；
若求出，则是异面直线所成角的补角．
在棱长为的正方体中，求异面直线与所成的角．
【解析】，，
，
，，，
，，，
又，，
，，
∴，
，
即异面直线与所成的角为．
【名师点睛】解决本题的关键是在两异面直线上构造向量，求出向量的夹角，在求解过程中易忽略向量的夹角与两直线所成的角的区别．
重点 利用数量积求线段的长或两点间的距离
利用空间向量求线段的长度或两点间的距离，步骤如下：
（1）结合图形将所求线段用向量表示；
（2）用已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用，通过计算求出，即可得，即得所求线段的长度或两点间的距离．
如图所示，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.
(1)设=a，=b，=c，试用a，b，c表示;
(2)已知O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的长.
【解析】(1)由=a，=b，=c，得=a+b+c,
所以=-a-b-c.
(2)O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心,即O为线段A1C的中点.
由已知条件得|a|=|b|=2,|c|=3,a·b=0,.
由(1)得=a+b+c,
则||2==(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=22+22+32+0+2×2×3×cos 60°+2×2×3×cos 60°=29.
所以A1C的长为,
所以CO的长为.
易错 未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系导致错误
“”是“为钝角”的______________条件．
【错解】易知为钝角，
所以“”是“为钝角”的充要条件．
【错因分析】错解中忽略了两个向量共线且反向的情况从而导致错误．
【正解】易知为钝角或平角，
所以“”是“为钝角”的必要不充分条件．
【名师点睛】，即夹角为钝角或平角，不能忽略与平行且反向的情形；
，即夹角为直角；
，即夹角为零角或锐角，不能忽略与平行且同向的情形．
易错 忽略向量夹角的定义导致错误
如图所示，在空间四边形中，，，，，分别为，的中点，则______________．
【错解】由题易知，，
所以．
【错因分析】错解中没有正确理解两向量的夹角，误认为是与的夹角．
【正解】由题易知，，
所以．
【名师点睛】向量的夹角定义中，必须把两向量移至共起点，如下图所示，是与的夹角，而与的夹角为的补角．
基础训练
1．已知，，，则
A． B．
C． D．
2．设是棱长为的正方体，和相交于点，则有
A． B．
C． D．
3．若非零向量，满足，，则与的夹角为
A． B．
C． D．
4．已知四边形为矩形（邻边不相等），平面，连接、、、、，则下列各组向量中，数量积不为零的是
A．与 B．与
C．与 D．与
5．在空间四边形ABCD中,·+·+·=
A．0 B．
C．1 D．无法确定
6．一个结晶体的形状是平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长度是
A． B．2
C． D．
7．已知是异面直线，且则与所成的角是
A． B．
C． D．
8．在空间四边形中，，，则等于
A． B．
C． D．
9．在棱长为的正方体中，___________．
10．已知空间向量a，b满足，，a与b的夹角为150°，则___________.
11．已知，，，则___________.
12．如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量在向量上的投影是___________.?
13．如图，在空间四边形中，，，求异面直线与的夹角．
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O⊥平面PAC.
能力提升
15．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．设，，，是空间不共面的四个点，且满足，，，则的形状是
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
17．已知，且与垂直，则与的夹角为
A． B．
C． D．
18．在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
19．如图，正四面体中，是的中点，那么
A． B．
C． D．与不能比较大小
20．设，，与垂直，，，则_________________．
21．如图，平面，且△是的等腰直角三角形，四边形、四边形都是正方形，若，求异面直线与所成的角．
22．如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．
23．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.当的值等于多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
真题练习
24．（2019上海模拟）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为
A．1 B．2
C．4 D．8
25．（2019天津模拟）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=
AB=2,E为棱AA1的中点.证明B1C1⊥CE.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】由．故选C．
3．【答案】C
【解析】由，可得，则，故与的夹角为．故选C．
4．【答案】A
【解析】由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为，∴数量积都为，故选A．
5．【答案】A
【解析】·+·+··(-)+(-)·+(-)··-·+·
-·+·-·=0,故选A．
6．【答案】D
【解析】，故选D.
7．【答案】C
8．【答案】D
【解析】
，∴
9．【答案】
【解析】由题意知，所以，又，所以．故填．
10．【答案】
【解析】
11．【答案】
【解析】由，得，所以，
所以即所以.
12．【答案】　
【解析】向量在上的投影为||cos<,>=||cos<,>=1×cos 45°=.

14．【解析】连结DB，令，，，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
则，，
.
，
∴，即AC⊥OB1.
又，
∴.
∴，即.
∵AP∩AC＝A，
∴OB1⊥平面ACP.
15．【答案】B
【解析】∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b＝|a||b|，∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0，∴a与b共线．反之，当a与b共线时，也可能a·b＝－|a|·|b|，故a·b＝|a||b|是a与b共线的充分不必要条件，故选B．
16．【答案】A
17．【答案】D
【解析】∵与垂直，∴，
∴
∴
18．【答案】D
【解析】设.
则
,选D．
19．【答案】C
【解析】∵，
，
∴.
20．【答案】
21．【解析】∵，，
∴．
∵，，，
∴，，，．
∴．
又，
∴，∴，
∴异面直线与所成的角为．
22．【解析】因为，所以，．
因为与成角，所以或．
因为，
所以，
所以．
当时，，即；
当时，，即．
综上，可知，之间的距离为或．
【名师点睛】求解本题应注意：与成角，有，两种情况．

24．【答案】A
【解析】由题图可知，与上底面垂直，因此，．
25．【解析】因为·=(++)·(++)=(++)·+(++)·
+(++)·,
又(++)·=2+0+(-1)=1,
(++)·=0+(-1)+0=-1,
(++)·=0,
所以·=1+(-1)+0=0,因此B1C1⊥CE.