人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1.4、3.1.5 空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示

知识
1．空间向量基本定理
类似于平面向量基本定理，有空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得__________．
其中，叫做空间的一个基底，都叫做基向量．
注意：（1）空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；
（2）由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是．
2．空间向量基本定理的推论
设，，，是不共面的四点，则对于空间任一点，都存在唯一的有序实数组，使得，当且仅当__________时，，，，四点共面．
3．单位正交基底
设为有公共起点O的三个两两__________的单位向量，我们称它们为单位正交基底．用来表示．
4．空间向量的坐标表示
以的公共起点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz．那么，对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得__________．我们把x，y，z称作向量在单位正交基底下的坐标，记作__________．
注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响．
5．单位正交基底之间的数量积运算
（1）因为单位正交基底互相垂直，所以__________．
（2）因为为单位向量，所以．
6．空间向量的坐标运算
空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到．
设，，则
（1），
，
，
；
（2），
，
__________，
；
（3）在空间直角坐标系中，已知点，，则A，B两点间的距离
．
注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．
知识参考答案：
1．
2．
3．垂直
6．（2）
重点
重点
空间向量基本定理及其意义，正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示
难点
利用向量的坐标运算解决垂直问题、平行问题及空间角的求解
易错
对基底概念理解不清、向量分解不彻底，混淆两向量平行与两向量同向
重点 基底的判断
判断给出的向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断向量是否共面，首先应考虑向量是否是零向量，其次判断非零向量是否共面．
已知e1,e2,e3是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断,,能否作为空间的一个基底.
因为e1,e2,e3是空间的一个基底,所以e1,e2,e3不共面,所以?,此方程组无解.
即不存在实数x,y,使得=x+y成立,所以,,不共面.
故,,能作为空间的一个基底.
【名师点睛】如果从正面难以入手判断向量是否共面，可假设向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则向量共面；若方程组无解，则向量不共面．
重点 空间向量基本定理的应用
若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为
A．，， B．，，
C．，， D．，1，
【答案】A
如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设=a，=b，=c，用基底{a,b,c}表示以下向量：
； (2)； (3)； (4).
【解析】连接AC,AD1,AC1.
(1)(+)=(++)=(a+b+c).
(2)(+)=(+2+)=(a+2b+c).
(3)(+)=[(++)+(+)]=(+2+2)=(a+2b+2c)=
a+b+c.
(4)++(-)=+++a+b+c.
【名师点睛】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
重点 空间向量的坐标运算
若点A(1,2,3),B(-3,2,7),且+2=0.
(1)求点C的坐标；
(2)求·.

(2)=-=(4,0,-4),
=(1,2,3)-(-1,2,5)=(2,0,-2),
∴·=(4,0,-4)·(2,0,-2)=8+8=16.
已知点A(2，0，－1)，B(1，1，2)，C(3，－2，－3)．
（1）向量与夹角的余弦值为______________；
（2）若向量，且，则______________；
（3）若向量与向量互相垂直，则实数______________．
【解析】由题可知，，．
（1）．
（3）因为，，
所以，解得．
【名师点睛】空间向量的平行、垂直与数量积运算是高考的热点，而坐标运算的关键是正确写出向量的坐标，然后套用相应的公式进行计算．应注意：当向量的起点不为原点时，需依据求向量的坐标．
难点 空间向量的坐标运算在立体几何中的应用
利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两种方法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标．
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.
证明:CF⊥平面ADF.
【解析】由题意可知DA⊥DC,DA⊥DP,DC⊥DP,则以D为原点,DP所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DA所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为a,则C(0,a,0),A(0,0,a),D(0,0,0).
在Rt△PDC中,由已知及平面几何知识可求得F(a,a,0),
所以=(a,-a,0),=(a,a,0),=(0,0,a).
所以·=(a,-a,0)·(a,a,0)=0,
·=(a,-a,0)·(0,0,a)=0,
故CF⊥DF,CF⊥DA．
又DF∩DA=D,所以CF⊥平面ADF.
【名师点睛】坐标法是解决立体几何问题的一个强有力的工具．对于以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这样仅通过计算即可获得平行、垂直等关系，结合向量的数量积又可解决有关求角、求距离的问题．
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.

(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴，，
∴.
又，，
∴.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
易错 对基底概念理解不清、向量分解不彻底
如图1，在长方体中，为与的交点．若，，，试用基底表示向量．

图1 图2
【错解】如图2，连接，，
则．
【错因分析】错解中可以用基底表示，向量的分解不彻底导致错误．
【正解】如图2，连接，，
则
．
【名师点睛】用基底表示向量时，最后结果应只含基向量，基底可以表示空间内的任意一个向量．
易错 混淆两向量平行与两向量同向
已知向量，，若向量同向，求实数的值．
【错解】由题意可知，所以，即，
解得或．
故，或，．
【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解中忽略了“同向”这一限制条件，从而导致错误．
【正解】由题意可知，
所以，即，
解得或．
故，或，．
当，时，，向量反向，不符合题意，应舍去；
当，时，，向量同向，符合题意．
综上，，．
【名师点睛】由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向、也可能反向．
基础训练
1．
A． B．
C． D．无法确定
2．下列各组向量中,可以作为基底的是
A． B．
C． D．
3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，的坐标分别为，，则
A． B．
C． D．
4．若向量a，b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b=
A．5 B．-5
C．7 D．-1
5．已知，，，则与的夹角为
A． B．
C． D．
6．设M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0),若,则点B的坐标为
A．(9,1,1) B．(-9,-1,-1)
C．(-1,3,-3) D．(1,-3,3)
7．已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是
A． B．
C． D．
8．以下四个命题中正确的是
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则全不是零向量
C．为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
9．正方体中，，，分别是，，的中点，以为基底，，则，，的值是
A． B．
C． D．
10．在如图所示的空间直角坐标系中,正方体的棱长为2,为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为
A． B．
C． D．
11．若==,且,则的值是__________.
12．如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点， 以为基底，则__________．
13．在平面直角坐标系中,已知点,若三点共线,则????????? ．
14．若是空间的一个基底，判断能否作为该空间的一个基底．
15．已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2).
(1)求|a|;
(2)求a与b夹角的余弦值.
16．如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD．证明:平面PQC⊥平面DCQ.
17．已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=.
(1)设|c|=3，c//，求c.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.
18．已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),试判断四边形ABCD的形状.
能力提升
19．设向量是空间的一个基底，则—定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是
A． B．
C． D．或
20．已知A(0,0,-x),B(1,,2),C(x,,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且=x+2x+4,则与的夹角为
A． B．
C． D．
21．已知是四面体，是的重心，是上的一点，且．若，则为
A． B．
C． D．
22．若向量，，的起点和终点，，互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是
A． B．
C． D．
23．若两点,当取最小值时,的值等于
A．19 B．
C． D．
24．已知向量，，且与互相垂直，则的值为
A． B．
C． D．
25．已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是
A．a⊥c,b⊥c B．a∥b,a⊥c
C．a∥c,a⊥b D．以上都不对
26．若向量，，则_________________．
27．已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为　　　　.?
28．已知向量，，，且，．
（1）求向量，，；
（2）求向量与所成角的余弦值．
29．已知a=(-1,2,2),b=(1,0,-2),c=a+tb,并且实数t满足关于x的方程x2-2tx+2t2-7t+12=0有实数根.当|c|取最小值时,求t的值.
30．已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若∥,且||=2,求点P的坐标;
(2)求以,为邻边的平行四边形的面积.
31．已知正三棱柱，底面边长，，点，分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求三棱柱的侧棱长；
（2）若为的中点，试用基底向量，，表示向量；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
真题练习
32．（2019四川模拟）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为________________．
参考答案
1．【答案】A
【解析】因为,
所以，则.
2．【答案】B
3．【答案】D
【解析】．故选D．
4．【答案】B
【解析】因为a+b=(-2,-1,2)，a-b=(4,-3,-2)，所以a=(1,-2,0)，b=(-3,1,2)，
所以a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5，故选B．
5．【答案】C
【解析】设与的夹角为，由题意可得，，，，故选C．
6．【答案】A
【解析】设点B的坐标为(x,y,z)，则=(x-4,y-2,z+1).∵,=(5,-1,2)，∴x-4=5,y-2=-1,z+1=2，∴x=9,y=1,z=1,∴点B的坐标为(9,1,1).
7．【答案】A
【解析】由题可得．所以点A在基底下的坐标为(12,14,10).故选A．
8．【答案】B
9．【答案】A
【解析】由题得
，对比，可得．故选A．
10．【答案】C
【解析】结合图形可知,设,因为,所以=,解得,所以点F的坐标为.故选C．
11．【答案】
【解析】因为==,所以=,
因为,所以=,
所以.
13．【答案】
【解析】因为点三点共线,所以有,
所以,解得,
所以=.
14．【解析】假设共面，则存在实数使得，
∴．∵为基底，∴不共面，
∴，此方程组无解，
∴不共面，
∴可以作为空间一个基底．
15．【解析】(1)因为a=(-4,2,4),
所以|a|==6.
(2)因为a =(-4,2,4),b=(-6,3,-2),
所以a·b=(-4,2,4)·(-6,3,-2)=24+6-8=22.
又|b|==7,所以cos=.
即a与b夹角的余弦值为.
16．【解析】如图,以D为坐标原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
17．【解析】(1)因为且c//，
所以设
得,解得
即
(2)因为,
所以
又因为所以
即
解得k=2或
19．【答案】C
【解析】因为向量是空间的一个基底，所以三个向量不共面，而向量与或共面，故排除选项A、B、D．故选C．
20．【答案】C
【解析】由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,∴x=-1.
∴A(0,0,1),C(-1,,2),∴=(1,,1),=(-1,,1),
∴cos<,>=,即与的夹角为.故选C．
21．【答案】A
【解析】因为 ，而，所以，，．故选A．
22．【答案】C
【解析】对于A，由四点共面知，，，共面；
对于B，D，易知，，共面，故只有C中，，不共面．故选C．
23．【答案】C
【解析】===有最小值,即有最小值,当且仅当=时取得最小值故选C．
24．【答案】D
25．【答案】C
【解析】∵c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,∴a∥c.
又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,∴a⊥b,故选C．
26．【答案】
【解析】因为，，
所以，
，
所以．故填．
27．【答案】(-,,0)
【解析】设H(x,y,z),则=(x,y,z),=(x,y-1,z-1),=(-1,1,0),
因为BH⊥OA,所以·=0,即-x+y-1=0　①,
又点H在直线OA上,所以=λ,即②,
由①②解得,所以点H的坐标为(-,,0).
29．【解析】关于x的方程x2-2tx+2t2-7t+12=0有实数根,
则Δ=(-2t)2-4(2t2-7t+12)≥0,即t2-7t+12≤0,
解得3≤t≤4.
又c=a+tb=(-1,2,2)+t(1,0,-2)=(t-1,2,2-2t),
∴|c|==.
∵当t∈[3,4]时,关于t的函数y=单调递增,
∴当t=3时,|c|取最小值,|c|的最小值为2.
30．【解析】(1)因为∥,所以可设=λ(λ∈R).
因为=(3,-2,-1),所以=(3λ,-2λ,-λ).
又||=2,
所以=2,解得λ=±2.
所以=(6,-4,-2)或=(-6,4,2).
设点P的坐标为(x,y,z),则=(x,y-2,z-3).
所以或.
解得或.
故所求点P的坐标为(6,-2,1)或(-6,6,5).
31．【解析】（1）设正三棱柱的侧棱长为，
由题意得，，，，，，
则，，
因为，所以，
所以．
（2）
．
32．【答案】
【解析】建立坐标系如图所示．设，则，．
设，则，
所以．
显然在上单调递减，
故当时，取得最大值．