人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 立体几何中的向量方法

知识
1．点的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量__________来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
2．直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线__________的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
注意：
（1）在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合.
（2）表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，则它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反.
3．平面的法向量
（1）平面法向量的定义
若直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的__________．
注意：
（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
（2）由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量.由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个.
（2）平面法向量的求法
①直接寻找：若几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可.
②待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时，一般用待定系数法求解，即先设平面的法向量为，找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，再根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组，解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量（通常把x，y，z中的一个赋值为1或0或-1）.
4．利用方向向量与法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直与夹角
设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则有如下结论：
平行
问题
线线平行
线面平行
面面平行
垂直
问题
线线垂直
线面垂直
面面垂直
夹角
问题
线线夹角
设，的夹角为,则
线面夹角
设，的夹角为,则
面面夹角
设，的夹角为,则
注意：
（1）这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即；
（2）二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为，其余弦值取还是应结合具体情况而定．
5．点面距
已知为平面的一条斜线段(在平面内)，为平面的法向量，则到平面的距离为__________．
注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．
知识参考答案：

5．
重点
重点
直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系及夹角的计算
难点
向量方法在立体几何问题中的应用，其中适当建立坐标系是关键
易错
混淆二面角与面面角的区别导致错误
重点 线面位置关系的判断
根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
（1）直线，的方向向量分别是，；
（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；
（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；
（4）平面，的法向量分别是，．
【解析】（1）因为，，所以，
所以，即．
【名师点睛】（1）两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行（垂直）；否则两直线相交或异面但不垂直．
（2）直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线与平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平面内；否则直线与平面相交但不垂直．
（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行（垂直）；否则两平面相交但不垂直．
重点 证明线线、线面、面面平行
1．证明线线平行，即证明两条直线的方向向量平行.利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.
2．用向量法证明线面平行有三种方法：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
3．利用空间向量证明面面平行有两种方法：一是将面面平行转化为相应的线面平行、线线平行来证明.二是求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行来证明.也可以将向量法和综合法结合,从而避免求平面法向量的繁杂计算.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明:PQ∥RS.
【解析】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),
∴,
∴∥,即PQ∥RS.
已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1,DD1的中点.
求证:(1)FC1//平面ADE.
(2)平面ADE//平面B1C1F.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
则有D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
所以
设分别是平面ADE与平面B1C1F的法向量,
则即，
令y1=1得n1=(0,1,－2),
同理可得平面B1C1F的一个法向量n2=(0,1,－2).
(1)因为,所以,
又平面ADE,所以FC1//平面ADE.
(2)因为n1=n2=(0,1,-2),所以平面ADE//平面B1C1F.
重点 证明线线、线面、面面垂直
（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证．
（2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行．
（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直．
如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3.证明：AC⊥B1D．
【解析】由题意知,AB,AD,AA1两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设AB=t,则有A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).
从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).
因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去),
所以=(-,3,-3),=(,1,0).
因为·=-3+3+0=0,所以⊥,
即AC⊥B1D．
如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
图1 图2
【解析】如图2，以A为原点， AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，，，，，．
（1）易得，，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得平面的一个法向量为．
又，所以，所以，所以直线平面．
方法2：易得，，
设平面的法向量为，则，即，
取，得，，所以平面的一个法向量为．
由⊥底面，可得是平面的一个法向量，
因为，所以，所以平面平面．
重点 空间角的求解
（1）求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．
（2）求线面角的步骤：①确定直线的方向向量和平面的法向量；②求两个向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时线面角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去．
（3）求二面角的步骤：①确定两平面的法向量；②求两个法向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定二面角与向量夹角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来．
在正方体中，，，分别为棱，的中点，求：
（1）直线与所成的角；
（2）直线与平面所成角的正弦值；
（3）二面角的余弦值．
【解析】如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．
（1）因为，，所以，
所以直线与所成角的大小为．

（3）易得，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，得，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，即，
取，得，，
所以平面的一个法向量为．
所以，
显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;
(2)是否存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】以点D为坐标原点,射线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
由题意得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).
故=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).

(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),
由,得.
于是可取n=(λ,-λ,1).
同理,平面PQMN的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).
若存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.
故存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,此时λ的值为1±.
难点 空间距离的求解
求点到平面的距离的步骤可简化为：
①求平面的法向量；
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．
已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
【解析】建立以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示,
则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),
=(,,0),=(1,,-1),
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,且n·=0,即,
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3).
易错 混淆二面角与面面角的区别导致错误
如图1，已知四边形为矩形，平面，且，，求二面角的余弦值．

图1 图2
【错解】建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，．
设平面、平面的法向量分别为，，
则由和，可得和，
即和，
令，可得平面的一个法向量为，
令，可得平面的一个法向量为，
所以，
故二面角的余弦值为．
【错因分析】二面角的取值范围是，面面角的取值范围是，错解中将两者混淆，忽略了二面角既可能是锐角也可能是钝角，解题时应仔细观察图形，避免出错．
【正解】建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，．
设平面、平面的法向量分别为，，
则由和，可得和，
即和，
令，可得平面的一个法向量为，
令，可得平面的一个法向量为，
所以，观察图形易知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
【名师点睛】（1）如图3，若AC，BD分别是二面角的两个面内与棱垂直的直线，且AC，BD为异面直线，则二面角的平面角就是向量与的夹角．
（2）如图4、图5、图6、图7，，分别是二面角的两个面的法向量，则向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角．当从图形上不能判断二面角是锐角还是钝角时，要利用法向量的方向来判断法向量的夹角和二面角之间的关系是相等还是互补．图5、图7中两平面的法向量“同向”，此时法向量的夹角就是二面角的平面角的补角；图4、图6中两平面的法向量“反向”，此时法向量的夹角就是二面角的平面角．
图3 图4 图5 图6 图7
基础训练
1．设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=
A．2 B．-4
C．4 D．-2
2．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为n=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，为坐标原点，则等于
A． B．
C． D．
5．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是
A．(,,) B．(,,)
C．(,,) D．(,,)
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则D1E与A1D的关系为
A．平行 B．垂直
C．既不平行也不垂直 D．无法确定
7．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(,,),那么这条斜线与平面的夹角是
A．90° B．60°
C．45° D．30°
8．已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z的值分别为
A．,,4 B．,,4
C．,-2,4 D．4,,-15
9．长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
10．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_________________．
11．已知P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与平面ABCD的位置关系是　　　　.?
12．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的边长为2,AB1⊥BC1,则侧棱长为　　　　.?
13．已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，M为PA的中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是_________________．
14．(1)设平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),试判断平面α,β的位置关系.
(2)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,根据下列条件判断直线l与平面α的位置关系:
①a=(1,-4,-3),u=(2,0,3);②a=(3,2,1),u=(-1,2,-1).
15．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,G是BB1的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=2EO.求证:
(1)DG⊥AC;
(2)DB1⊥平面CD1O;
(3)平面CDE⊥平面CD1O.
16．如图，直三棱柱中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．
17．如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.
(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD夹角的正弦值.
能力提升
18．在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离为
A． B．
C． D．
19．如图(1),在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,则A'D与平面A'BC所成角的正弦值等于
A． B．
C． D．
20．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
21．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则点P的坐标满足的条件为　　　　.?
22．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.?
23．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点.若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长.
24．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
（1）证明：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．
25．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面．设．
（1）求二面角的大小；
（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
真题
26．（2018新课标全国I理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
27．（2018新课标全国II理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
28．（2018新课标全国III理）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
29．（2019天津模拟）如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值．
30．（2019山东模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．
（1）证明：直线平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
31．（2019四川模拟）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
参考答案
1．【答案】C
【解析】∵α∥β,∴存在实数λ,使(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),∴k=4.
2．【答案】A
3．【答案】A
【解析】由题意知=(2,0,1),根据点到直线的距离公式得d=.
4．【答案】B
【解析】因为点是在坐标平面内的射影，所以，
所以．故选B．
5．【答案】D　
【解析】=(-1,1,0),=(-1,0,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),则u·=0,u·=0,得-x+y=0,-x+z=0,且x2+y2+z2=1,故可取u=(,,).
6．【答案】B
【解析】以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AE=x,则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),
∵·=(1,0,1)·(1,x,-1)=0,∴⊥,∴A1D⊥D1E.
7．【答案】D
【解析】,因此a与b的夹角为30°,所以这条斜线与平面的夹角是30°.
8．【答案】B
9．【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，
则＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，cos〈，〉＝＝．
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选B．
10．【答案】
【解析】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，则＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，cos〈，〉＝＝＝．
11．【答案】垂直
12．【答案】
【解析】以AC的中点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
设CC1=h,则B(,0,0),B1(,0,h),A(0,-1,0),C1(0,1,h),=(,1,h),=(-,1,h).AB1⊥BC1,则·=0,即-3+1+h2=0.又h>0,所以h=,即侧棱长为.
13．【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量为＝(1，0，0)，D，P，M，则＝，所以cos〈，〉＝＝，所以DM与平面PAC所成的角为45°．
15．【解析】不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0, 0,0),A(1,0,0),B1(1,1,1),O(,,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),G(1,1,).
(1)∵=(1,1,),=(-1,1,0),
∴·=-1+1+0=0,∴⊥,
∴DG⊥AC．
(2)=(1,1,1),=(0,-1,1),=(,,0),
∵·=1×0+1×(-1)+1×1=0,·=1×()+1×+1×0=0,
∴DB1⊥CD1,DB1⊥OC,
∵CD1∩OC=C,∴DB1⊥平面CD1O.
16．【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形．
连接A1C交AC1于O，连接，则O是A1C的中点，
又D是BC的中点，所以在△A1BC中，OD∥A1B，
因为A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．
（2）因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．
如图，以D为原点，建立如图所示空间坐标系．
由已知AB＝BB1＝2，得D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，2)，C1(0，-1，2)，
则＝(，0，0)，＝(0，-1，2)，
设平面AC1D的法向量为＝(x，y，z)，
则，即，
取z＝1，则x＝0，y＝2，∴＝(0，2，1)，
又＝(，0，2)，∴cos〈，〉＝＝，
设A1D与平面ADC1所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝，
故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为．

(2)=(-1,0,),=(-1,-,2),
设平面ACM的一个法向量为m1=(x1,y1,z1),所以.
取z1=1,得m1=(,1,1).
又平面BCD的一个法向量m2=(0,0,1),
所以cos=.
设平面ACM与平面BCD的夹角为θ,则sin θ=.
18．【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面的法向量，则，即，，
又，
∴平面与平面间的距离，故选B．
19．【答案】D
【解析】取DE的中点H,连接OH,则OH⊥OB．以O为坐标原点,OH,OB,OA'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点,∴A'(0,0,),D(1,-2,0),=(1,-2,-).又平面A'BC的一个法向量n=(1,0,0),设A'D与平面A'BC所成的角为θ,所以sin θ=|cos<,n>|=.
20．【答案】B
21．【答案】x+y+z=3
【解析】由题意,知OA⊥α,直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).因为P∈α,所以⊥,即(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0,故x+y+z=3.
22．【答案】M∈线段FH
【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则N(,1,0).∵M在四边形EFGH及其内部运动,可设M(0,y,z),∴=(,1-y,-z).
易证明平面B1BDD1的一个法向量是,且A(1,0,0),C(0,1,0),∴=(-1,1,0).
要使MN∥平面B1BDD1,应有⊥,即·=0,∴-+1-y=0,解得y=,∴M(0,,z).
∴M点应在线段FH上运动,即M∈线段FH.
24．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，
则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，
∴，，．
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即
令y1＝1，得n1＝(0，1，－2)．同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0，2，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1．

25．【解析】（1）设与交于，设，如图所示建立空间直角坐标系，
则
则
平面，，
即．
，设平面的法向量为，
则即
令，则，．
又平面的一个法向量为，，
∴二面角大小为．
26．【解析】（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得.
则为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，
则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得，
可取，
所以．
由已知可得．
所以．解得（舍去），．
所以．
又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
当三棱锥M?ABC体积最大时，M为的中点.
由题设得，
设是平面MAB的法向量,则
即
可取.
是平面MCD的法向量,因此，
，
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，平面，故，
可得平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）及已知可得，，，．
所以，，，．
设是平面的法向量，则即
可取．
设是平面的法向量，则即
可取．
则，
所以二面角的余弦值为．
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角．建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键．
（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设是平面ABM的法向量，
则即
所以可取．于是 ，
因此二面角的余弦值为．
【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．则．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得．
故．
设是平面DAE的法向量，则即
可取．
设是平面AEC的法向量，则
同理可取．
则，所以二面角D-AE-C的余弦值为．