沪科版九年级上册第22章相似形单元测试卷（解析版）

绝密★启用前
相似形单元测试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(每题4分共40分)
1．若3x=2y，则x：y的值为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．3：5 D．2：5
2．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A.a=3，b=6，c=2，d=4 B.a=1，b= ，c= ，d=
C.a=4，b=6，c=5，d=10 D.a=2，b= ，c= ，d=2
3．已知点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），则下列各式中不正确的是（ ）
A.AM：BM=AB：AM B.BM=AB
C.AM=AB D.AM≈0.618AB
4．如图，在中，点、分别在、边上，且，若，则的值等于（ ）

A． B． C． D．
5．下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的有（　　）
①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠D=45°，DE=16，DF=40；
②AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40；
③∠A=47°，AB=15，AC=20，∠E=47°，DE=28，EF=21．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）

A.(2，1) B.(2，0) C.(3，3) D.(3，1)
7．如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与△ABC相似(不包括△ABC本身)有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）

A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
9．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，OA＝4，OC＝3，直线m：y＝﹣x从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t(秒)，设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是(　　)

B．
C．D．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF?AB＝CF?BC，其中正确结论的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每题5分共20分)
11．已知线段，，则、的比例中项为__________．
12．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．

13．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．

14．如图，在中，、两点分别在边、上，，与相交于点，若的面积为，则的面积为________．


三、解答题（共9大题，满分90分)
15．如图，已知在?中，，，求证：．

16．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE
（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；
（2）直接写出△DEF的面积．

17．甲和乙两位同学想测量一下广场中央的照明灯P的高度，如图，当甲站在A处时，乙测得甲的影子长AD正好与他的身高AM相等，接着甲沿AC方向继续向前走，走到点B处时，甲的影子刚好是线段AB，此时测得AB的长为1.2m．已知甲直立时的身高为1.8m，求照明灯的高CP的长．

18．已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．

（1）求证：；
（2）连接，求证：．
19．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形“，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）点B的坐标为　 　，△ABC的面积为　 　；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为　 　．

20．如图中，，，为上一点，交于．
（1）若，求的长；
（2）若为的中点，，求．
?
21．如图三角形中，有一内接矩形，为边上的高，，，矩形面积为，与交于，设为，为．

求与的函数关系式．
当取何值时，有最大值，最大值是多少？
22．如图，等边三角形的边长为，点为上的一点，点为上的一点，
连结、，．

求证：①；②；
若，求和的长．
23．如图，正方形ABGD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．

求证：EF=CF；（2）当时，求EF的长．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积逆推即可得到答案.
【详解】
∵3x＝2y，∴x∶y＝2∶3，故答案选A.
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.
2．C
【解析】
试题解析：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段不成比例；
∵，，故选项D中的线段成比例；
故选C．
3．B
【解析】
∵点M将线段AB黄金分割(AM>BM)，
∴AM是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB:AM=AM:BM，AM=AB≈0.618AB，BM=AB.
故选：C.
4．D
【解析】试题解析：∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
而
∴
∴．
故选D．
5．C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】
根据题意，①中夹角所对应的边不成比例则不能判定相似；
条件②中三边对应成比例的两个三角形相似；
条件③两边对应成比例且夹角相等，故相似．
所以②③相似，
故选C．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
6．A
【解析】
试题解析：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．

7．B
【解析】
解：如图，

，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
∴其中与△ABC相似（不包括△ABC本身）的有2个，分别是△EFD和△MGN，且相似比都是，
故选B.
8．B
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，据此根据题意构造直角三角形即可进行求解.
【详解】根据题意画出图形如图所示，其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，
∵，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵，
∴AB==8（米）,
故选B．

【点睛】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，根据题意构造直角三角形是解决本题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
分两种情形①如图1中，当0＜t≤4时，②如图2中，当4＜t≤8时，分别求出y与t的函数关系式即可解决问题．
【详解】
如图1中，当0＜t≤4时，

∵MN∥CA，
∴OM：OA＝ON：OC，
∴OM：ON＝OA：OC＝4：3，
∴OM＝t，ON＝t，
∴y＝t2．
如图2中，当4＜t≤8时，

y＝S△EOF﹣S△EON﹣S△OFM＝
综上所述y＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查动点问题函数图象、矩形的性质．三角形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，求出分段函数的解析式，属于中考常考题．
10．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.
【详解】
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，
∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC
∵DB＝DE,
∴∠DBE＝∠DEB
即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.
∴∠DBM＝∠CDE.
∵EF⊥AC,
∴∠DFE＝∠BMD=90°
在△BMD和△DFE中

∴△BMD≌△DFE.
故①正确.
由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C
∴△NBE∽△DCB，
故②错，对应字母没有写在对应的位置上.
∵△BMD≌△DFE，
∴BM=DF,
∵BM=AM=MC，
∴AC=2BM,
∴AC＝2DF.
故③正确

易证△EFC∽△ABC,所以=,
∴EFAB＝CFBC
故④正确
故选C.
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，
掌握基础知识是解题的关键.
11．2.
【解析】
【分析】
设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【详解】
解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=1，b=4，
∴ ，
∴x2=ab=1×4=4，
∴x=2或x=-2（舍去）．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，关键是根据比例中项的定义列出等式．
12．∠ABP=∠C（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.
【详解】
在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
13．4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
14．6
【解析】
【分析】
过点D作DG//BE交AC于点G，根据等高的两个三角形底边的关系，可得两个三角形面积的关系，根据相似三角形判定与性质，可得AE：EG=AF：FD=3：4，根据比例的性质，可得AF：AD=3：7，再根据等高的两个三角形底边的关系，可得两个三角形面积的关系．
【详解】
过点D作DG//BE交AC于点G，
∵AE：EC=CD：BD=1：2，△ABC的面积为21，
∴S△ABE：S△BCE=S△ADC：S△ABD=1：2，
∴S△ABD＝S△ABC=×21=14，
∵DG∥BE，
∴△CDG∽△CBE，△AEF∽△AGD，
∴，
GE=CE，AE=CE，
∴AE：EG=AF：FD=3：4，
∴AF：AD=3：7，
∴S△ABF：S△ABD=3：7，
∴S△ABF=S△ABD=×14=6，
故答案为：6．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等高的两个三角形的面积与底边的关系，相似三角形的判定与性质，题目有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.
15．详见解析.
【解析】
【分析】
根据DE∥BC，DF∥AC可以判定四边形DFCE是平行四边形，得到DF=EC，然后利用平行线分线段成比例定理得到AD：DB=AE：EC，从而得到结论．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】
考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行四边形的判定方法得到平行四边形.
16．（1）作图见解析；（2）7.5．
【解析】
【分析】
（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=，BC=，AC=，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；
?
（2）△DEF的面积=×5×3=7.5．
【点睛】
本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．
17．路灯高CP为5.4米．
【解析】
【分析】
根据AM⊥CD，BN⊥CD，PC⊥CD，得到AM∥PC∥BN，从而得到△ACP∽△ABN，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【详解】
解：如图，设CP长为xm，
∵AM⊥DC，DA＝MA，
∴∠D＝45°
又∵CP⊥DC
∴∠CPD＝45°
∴CD＝CP＝x
∵CP⊥DC，BN⊥DC
∴BN∥CP
∴∠CPA＝∠BNA，
又∵∠NAB＝∠PAC
∴△ACP∽△ABN
∴
解得 x＝5.4.

答：路灯高CP为5.4米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
18．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据CG2=GE?GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；
（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．
【详解】
（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
19．（1）（2，2）、3；（2）见解析；（3）（2a，2b）．
【解析】
【分析】
（1）直接根据图形可得点B的坐标、由三角形面积公式可得△ABC的面积；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）由位似变换的性质可得答案．
【详解】
（1）点B的坐标为（2，2）、△ABC的面积为×3×2=3，
故答案为：（2，2）、3；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．

（3）若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为（2a，2b），
故答案为：（2a，2b）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
20．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用平行可得可求得AC的长，结合条件可求得EC；
（2）可先求得△ABM的面积，再利用相似可求得△ADN的面积．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质和相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
21．(1);(2) 当时，的值最大
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件易证△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得AK:AD=GH:BC，代入数据即可求得y与x的函数关系式；（2）根据矩形的面积公式，可得S=xy，然后根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，即可推出x取何值时，S的值最大．
【详解】
∵矩形，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，为，为．
∴，
∵，
∴，
∴；
∵?，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数最值，解题的关键是根据相似三角形对应高的比等于相似比推出y关于x的函数表达式．
22．(1) ①见解析; ②见解析;(2)，．
【解析】
【分析】
（1）①由△ABC为等边三角形，可得∠B=∠C=60°，又∠APD=60°，由三角形外角的性质可得∠DPC=∠PAB，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△ABP∽△PCD；②利用两角对应相等的两个三角形相似证明△ADP∽△APC，根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）由（1）知△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质可得AB：PC=BP：CD，代入数据求得CD的长，即可得AD的长，再利用AP2=AD?AC求得AP的长即可．
【详解】
证明：①在等边三角形中，，
∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴；解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵等边三角形的边长为，，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由已知条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答本题的关键．
23．见解析
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）设EF=x，根据勾股定理解答即可．
试题解析：（1）证明：∵正方形ABGD，
又∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC，
且AD=GD，
在△ADE与△GDC中，

∴△ADE≌△GDC（ASA）．
∴DE=DC，且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，

∴△EDF≌△CDF（SAS）．
∴EF=CF；
（2）解：∵
∴AE=GC=4．设EF=x，则BF=16﹣CF=16﹣x，BE=12﹣4=8．
由勾股定理，得x2=（16﹣x）2+82．
解之，得x=10，
即EF=10．

答案第1页，总2页
答案第1页，总2页