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《14.1.1同底数幂的乘法》导学案
课题 同底数幂的乘法 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解同底数幂的乘法，并能正确的应用法则解决一些简单的实际问题 从同底数幂乘法法则的推导过程中，培养学生的观察、猜想和探究能力
重点难点 重点： 同底数幂乘法法则及其正确应用难点：同底数幂乘法法则及其灵活应用
教学过程
知识链接 1、 an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么? （1）25表示什么？ （2）10×10×10×10×10 可以写成什么形式? 3、一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式：
合作探究 探究1、同底数幂的乘法想一想:1015×103式子中两个因式有何特点？ 计算：1015×103首先：1015的意义表示：______________其次：根据乘方的意义可知 1015×103=（10×···×10）×（10×10×10） _____________个10×_________个10 =10×10×···×10（有_____个10） =10(___).你能类上述的方法，完成下列填空吗？ (1)２5×２2＝(２×２×２×２×２)(２×２) ＝2( )(2)a5×a2=______________________________=a( )(3)5m×5n=5( )猜一猜:am · an=_________ (m、n都是正整数）你能证明吗？思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？你能得到什么结论？通过以上的计算，观察等式左、右两边的底数、指数怎样变化的？你能用自己的话来概括这一性质吗？●归纳：同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数______，指数______。 am·an=______ (m、n都是正整数)例１、计算： （1）x2×x5 （2）a2●a6 （3）（-2）×（-2）4×（-2）3 （4）xm●x3m+1 想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？ （3）中应用这个结论，试一试比较那种方法更简单！ 例2、（1）已知5a=2，5b=11，求5a+b的值 （2）已知3x=5，求3x+2的值
自主尝试 1.计算：（抢答）（1） 105×106= （2） a7●a3= （3） x5●x5= （4） b5●b=2.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）b5●b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ） （3）x5●x5 = x25 ( ) （4）y5●y5 = 2y10 ( ) （5）c●c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( ) 3、填空： （1）x5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a6 （3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（ ）＝ｘ3m 4、计算: (1) x n · xn+1 (2) (x+y)3 · (x+y)4 5、填空： （1） 8 = 2x，则 x =_______； （2） 8× 4 = 2x，则 x =________； （3） 3×27×9 = 3x，则 x =________ .
当堂检测 1.计算：(－x3)·(－x)3·(－x)4＝____．2.规定a*b＝10a×10b，12*3＝____．3.若3x＋2＝36，则3x＝____．4.若82a＋3·8b－2＝810，则2a＋b的值是____ 5.计算： (1)(x－y)3·(y－x)2·(y－x)5； (2)－x2·(－x)3＋3x3·(－x2)－4(－x)·(－x4)． 6.(1)若m，n是正整数，且2m·2n＝32，求m，n的值； (2)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求(6－m)2 015的值． 7.(1)已知：xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝y5，求(－2)m·(－1)n的值； (2)若2a＝3，2b＝6，2c＝12，请研究a，b，c之间的数量关系．
小结反思 学生独立交流，教师对学生总结的知识点给予重现。及时解答学生困惑。 同底数幂的乘法性质：am·an=am+n (m、n都是正整数) ?方法: 特殊→一般 →特殊
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《14.1.1同底数幂的乘法》导学案
课题 同底数幂的乘法 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 理解同底数幂的乘法，并能正确的应用法则解决一些简单的实际问题 从同底数幂乘法法则的推导过程中，培养学生的观察、猜想和探究能力
重点难点 重点： 同底数幂乘法法则及其正确应用难点：同底数幂乘法法则及其灵活应用
教学过程
知识链接 1、 an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么? （1）25表示什么？ （2）10×10×10×10×10 可以写成什么形式? 3、一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式： 如何计算，今天我们将来学习具有这类式子的运算法则————同底数幂的乘法
合作探究 探究1、同底数幂的乘法想一想:1015×103式子中两个因式有何特点？ 我们观察 1015×103可以 发现，1015 和103 这两个因数底数相同，是同底的幂的形式所以我们把1015×103这种运算叫做同底数幂的乘法 计算：1015×103首先：1015的意义表示：______________其次：根据乘方的意义可知 1015×103=（10×···×10）×（10×10×10） _____________个10×_________个10 =10×10×···×10（有_____个10） =10(___).你能类上述的方法，完成下列填空吗？ (1)２5×２2＝(２×２×２×２×２)(２×２) ＝2( )(2)a5×a2=______________________________=a( )(3)5m×5n=5( )猜一猜:am · an=_________ (m、n都是正整数）你能证明吗？思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？你能得到什么结论？通过以上的计算，观察等式左、右两边的底数、指数怎样变化的？你能用自己的话来概括这一性质吗？●归纳：同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am·an=am+n (m、n都是正整数) 方法: 特殊→一般 →特殊例１、计算： （1）x2×x5 （2）a2●a6 （3）（-2）×（-2）4×（-2）3 （4）xm●x3m+1 分析：讲解时一定要提醒学生认清楚哪个是公式的a，公式应用的形式是满足幂的乘法 答案：（1）x7（2）a8（3）28（4）x4m+1想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？ am·an·ap =am+n+p （m、n、p都是正整数）证明：①am·an·ap=（am·an）·ap=am+n·ap=am+n+p；②am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．③am·an·ap=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a) ??? =am+n+p．（3）中应用这个结论，是不是就更简单了呢？ 完成自主练习后，教师及时作出总结：①同底数幂相乘时，指数是相加的；②底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计算，最后确定结果的正负； ③不能疏忽指数为1的情况；④公式中的a可为一个有理数、单项式或多项式（整体思想） 例2、（1）已知5a=2，5b=11，求5a+b的值 （2）已知3x=5，求3x+2的值 分析：根据同底数的幂的乘法，把5a+b变成5a×5b，3x+2变成3x×32代入求出即可。 答案：22、45
自主尝试 1.计算：（抢答）（1） 105×106= （2） a7●a3= （3） x5●x5= （4） b5●b=答案：1011、a10、x10、b62.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）b5●b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ） （3）x5●x5 = x25 ( ) （4）y5●y5 = 2y10 ( ) （5）c●c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( ) 答案：×、×、×、×、×、×（修改略）3、填空： （1）x5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a6 （3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（ ）＝ｘ3m答案：x3、a5、x3、x2m4、计算: (1) x n · xn+1 (2) (x+y)3 · (x+y)4 答案：x2n+1、(x+y)75、填空： （1） 8 = 2x，则 x =_______； （2） 8× 4 = 2x，则 x =________； （3） 3×27×9 = 3x，则 x =________ .答案：3、5、6
当堂检测 1.计算：(－x3)·(－x)3·(－x)4＝____．答案：x102.规定a*b＝10a×10b，12*3＝____．答案：10153.若3x＋2＝36，则3x＝____．答案：44.若82a＋3·8b－2＝810，则2a＋b的值是____ 答案：95.计算： (1)(x－y)3·(y－x)2·(y－x)5； 解：－(x－y)10 (2)－x2·(－x)3＋3x3·(－x2)－4(－x)·(－x4)． 解：－6x5 6.(1)若m，n是正整数，且2m·2n＝32，求m，n的值； 解：2m·2n＝32＝25，∴m＋n＝5， 又m，n都是正整数， ∴m=1、n=4或m=2、n=3或m=3、n=2或m=4、n=1 (2)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求(6－m)2 015的值． 解：m＝7，(6－m)2 015＝－1 7.(1)已知：xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝y5，求(－2)m·(－1)n的值； 解：m＝6，n＝4，值为64 (2)若2a＝3，2b＝6，2c＝12，请研究a，b，c之间的数量关系． 解：∵2b＝2×3又2a＝3，∴2b＝2×2a＝2a＋1， ∴b＝a＋1. ∵2c＝12＝3×22＝2a·22 ∴c＝a＋2
小结反思 学生独立交流，教师对学生总结的知识点给予重现。及时解答学生困惑。 同底数幂的乘法性质：am·an=am+n (m、n都是正整数) ?方法: 特殊→一般 →特殊
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(共26张PPT)
14.1.1同底数幂的乘法
人教版 八年级上
新知导入
1、 an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?
an
底数
幂
指数
an = a × a × a ×… a
n个a
新知导入
2、（1）25表示什么？
（2）10×10×10×10×10 可以写成什么形式?
25 = .
?
2×2×2×2×2
105
10×10×10×10×10 = .
(乘方的意义）
(乘方的意义）
新知讲解
一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它工作103秒可
进行多少次运算？
列式：1015×103
新知讲解
同底数幂的乘法
1015×103式子中两个因式有何特点？
同底数幂的乘法
我们观察 1015×103 可以 发现，1015 和103 这两个因数底数相同，是同底的幂的形式
所以我们把1015×103这种运算叫做
新知讲解
计算：1015×103
注意：1015的意义是表示：
根据乘方的意义可知
1015×103=（10×···×10）×（10×10×10）
=10×10×···×10
=1018.
15个10
18个10
3个10
有15个10相乘
新知讲解
根据乘方的意义填空，观察计算的结果有什么规律？
( ) ( )
( ) ( )
(3) ( ) ( )
7
7
n个5
( )
m+n
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？你能得到什么结论？
新知讲解
猜想: am · an= ? (当m、n都是正整数)
分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确.
am · an =
m个a
n个a
= aa…a
=am+n
(m+n)个a
即
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
（aa…a）
（aa…a）
（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
新知讲解
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，
底数 ，指数 。
不变
相加
同底数幂的乘法性质：
请你尝试用文字概括这个结论。
我们可以直接利用它进行计算.
如 43×45=
43+5
=48
运算形式
运算方法
（同底、乘法）
（底不变、指加法）
幂的底数必须相同，
相乘时指数才能相加.
巩固练习
1、计算：（抢答）
(1011 )
( a10 )
（ x10 ）
（ b6 ）
（2） a7 ·a3
（3） x5 ·x5
（4） b5 · b
（1） 105×106
巩固练习
2、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）
（3）x5 ·x5 = x25 ( ) （4）y5 · y5 = 2y10 ( )
（5）c · c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( )
m + m3 = m + m3
b5 · b5= b10
b5 + b5 = 2b5
x5 · x5 = x10
y5 · y5 =y10
c · c3 = c4
×
×
×
×
×
×
例题讲解
例１、计算：
（3）（-2）×（-2）4×（-2）3
解：
（3）（-2）×（-2）4×（-2）3
=（-2）1+4×（-2）3
= （-2）5×（-2）3
=（-2）8=28
三个的计算可以得出什么结论？
（1）x2×x5=x2+5=x7
（2）a2●a6=a2+6=a8
（4）xm●x3m+1=xm+3m+1=x4m+1
（1）x2×x5
（2）a2●a6
（4）xm●x3m+1
新知讲解
x3 · x3 · x =
想一想： ?当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也 具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
am·an·ap =
am+n+p
（m、n、p都是正整数）
x3+3+1 =x7
am·an·ap =
am+n·ap
=am+n+p
巩固练习
3、填空：
（1）x5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a6
（3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（ ）＝ｘ3m
x3
a5
x3
ｘ2m
注意：指数为1！
巩固练习
(1) x n · xn+1 ;
(2) (x+y)3 · (x+y)4 .
4、计算:
解:
x n · xn+1 =
解:
(x+y)3 · (x+y)4 =
am · an = am+n
xn+(n+1)
= x2n+1
公式中的a可代表一个数、字母、式子等.
(x+y)3+4 =(x+y)7
巩固练习
5、填空：
（1） 8 = 2x，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
3
5
6
23
23
3
25
36
22
×
=
33
32
×
×
=
新知讲解
同底数幂相乘时，指数是相加的；
底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计算，最后确定结果的正负；
不能疏忽指数为1的情况；
公式中的a可为一个有理数、单项式或多项式（整体思想）
例题讲解
例2、（1）已知5a=2，5b=11，求5a+b的值
分析:
根据同底数的幂的乘法，把5a+b变成5a×5b，3x+2变成3x×32代入求出即可。
解:
（1） ∵ 5a=2 ， 5b=11 ，
∴ 5a+b=5a×5b=2×11=22。
（2）已知3x=5，求3x+2的值
（2） ∵ 3x=5，
∴ 3x+2=3x×32=5×9=45。
拓展提高
1.计算：(－x3)·(－x)3·(－x)4＝____．
2.规定a*b＝10a×10b，12*3＝____．
3.若3x＋2＝36，则3x＝____．
4.若82a＋3·8b－2＝810，则2a＋b的值是____
x10
1015
4
9
拓展提高
5.计算：
(1)(x－y)3·(y－x)2·(y－x)5；
解：－(x－y)10
(2)－x2·(－x)3＋3x3·(－x2)－4(－x)·(－x4)．
解：－6x5
拓展提高
6.(1)若m，n是正整数，且2m·2n＝32，求m，n的值；
解：2m·2n＝32＝25，∴m＋n＝5，
又m，n都是正整数，
∴
(2)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求(6－m)2 015的值．
解：m＝7，(6－m)2 015＝－1
拓展提高
7.(1)已知：xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝y5，求(－2)m·(－1)n的值；
解：m＝6，n＝4，原式值为64
(2)若2a＝3，2b＝6，2c＝12，请研究a，b，c之间的数量关系．
解：∵2b＝2×3又2a＝3，∴2b＝2×2a＝2a＋1，
∴b＝a＋1.
∵2c＝12＝3×22＝2a·22
∴c＝a＋2
课堂总结
同底数幂的乘法性质：
幂的意义:
方法
“特殊→一般→特殊”
例子 公式 应用
作业布置
教材96页练习题
谢谢
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