第三章函数 第19节 二次函数应用
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■考点1. 二次函数的应用
1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■考点2.二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
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■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．
解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．
（2019年湖北省荆门市）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝/（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
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【考点】二次函数的应用
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
解：
（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知
/，解得/
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝/
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝/
整理得，y＝/
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝/＝/＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270
当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣/＝/＝/≈13.2＜13.5
∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝/＝/＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝/时取得．
（2019年浙江省绍兴市）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，说明理由．
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【考点】矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形面积公式，二次函数的应用
【分析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB?BC＝6×5＝30，
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝1，AG＝AB﹣BG＝5，得出S2＝AE?AG＝6×5＝30，
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，得出S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．
解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：
过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30，
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C＝135°，
∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，
∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，
∴S2＝AE?AG＝6×5＝30，
（2）能，理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C＝135°，
∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，
设AM＝x，则BM＝6﹣x，
∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，
∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，
∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．
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【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西梧州市）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围，
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
（2019年浙江省嘉兴市）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝/t﹣/刻画，当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣/（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式，
②请用含t的代数式表示m．
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
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（2019年吉林省）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式，
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值，
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围，
②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
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■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2019年辽宁省本溪市）抛物线y＝﹣/x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标，
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
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【考点】二次函数综合题
【分析】（1）函数的表达式为：y＝/（x+1）（x﹣5），即可求解，
（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2﹣/，0），S△PCF＝/×PC×DF＝/（2﹣m）（2﹣/﹣2）＝5，即可求解，
（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．
解：（1）函数的表达式为：y＝/（x+1）（x﹣5）＝﹣/x2+/x+/，
（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
函数PB的表达式为：y＝﹣/mx+/…①，
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为/，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y＝/…②，
联立①②并解得：x＝2﹣/，
故点F（2﹣/，0），
S△PCF＝/×PC×DF＝/（|2﹣m|）（|2﹣/﹣2|）＝5，
解得：m＝5或﹣3，
故点P（2，﹣3）或（2，5），
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（/）2+4，PF2＝（/）2+m2，
①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（/）2+4，解得：m＝0或/（0舍去），
②当CP＝PF时，同理可得：m＝/，
③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
故点P（2，/）或（2，﹣2）或（2，/）或（2，/）
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
◆变式训练
（2019年广西柳州市）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，/CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，
（2）求△BDP周长的最小值，
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于/CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．
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选择题
（2019年江苏省连云港市）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
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A．18m2 B．18/m2 C．24/m2 D．/m2
（2019年山东省临沂市）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m，
②小球抛出3秒后，速度越来越快，
③小球抛出3秒时速度为0，
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
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A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
（2019年天津市）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
…
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
（2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
/
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
（2019年四川省广安市）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
（2019年四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A．点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝/经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
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解答题
（2019年四川省成都市）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式，
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝/x+/来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
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（2019年四川省绵阳市）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元，若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
（2019年江苏省宿迁市）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
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（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______.
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（2019年云南省）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
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（2019年贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
（2019年辽宁省辽阳市）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
/
（2019年湖北省咸宁市）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元，
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
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（2019年山东省潍坊市）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
（2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。
销售量（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量
（2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式。如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
（2019年浙江省衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）
…
190
200
210
220
…
y（间）
…
65
60
55
50
…
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
/
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
（2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
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（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝/x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式，
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由，
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
/
（2019年福建省）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在?y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数?k，都有A．D、C三点共线.
/
（2019年贵州省遵义市）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
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第三章函数 第19节 二次函数应用
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■考点1. 二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■考点2.二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；
（4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
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■考点1. 二次函数的应用
◇典例：
（2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．
解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．
（2019年湖北省荆门市）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝/（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
/
【考点】二次函数的应用
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
解：
（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知
/，解得/
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝/
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝/
整理得，y＝/
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝/＝/＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270
当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣/＝/＝/≈13.2＜13.5
∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝/＝/＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝/时取得．
（2019年浙江省绍兴市）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，说明理由．
/
【考点】矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形面积公式，二次函数的应用
【分析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB?BC＝6×5＝30，
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝1，AG＝AB﹣BG＝5，得出S2＝AE?AG＝6×5＝30，
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，得出S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．
解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：
过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30，
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C＝135°，
∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，
∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，
∴S2＝AE?AG＝6×5＝30，
（2）能，理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C＝135°，
∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，
设AM＝x，则BM＝6﹣x，
∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，
∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，
∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．
///
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西梧州市）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围，
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
解：
由题意
（1）y＝（x﹣5）（100﹣/×5）＝﹣10x2+210x﹣800
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240
解得，x1＝8，x2＝13
∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13
（3）∵每件文具利润不超过80%
∴/，得x≤9
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5
∵对称轴为x＝10.5
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝/时取得．
（2019年浙江省嘉兴市）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝/t﹣/刻画，当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣/（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式，
②请用含t的代数式表示m．
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
/
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）把（25，0.3）代入p＝﹣/（t﹣h）2+0.4，解方程即可得到结论，
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20，
②当10≤t≤25时，p＝/t﹣/，求得m＝100（/t﹣/）﹣20＝2t﹣40，当25≤t≤37时，根据题意即可得到m＝100[﹣/（t﹣h）2+0.4]﹣20＝﹣/（t﹣29）2+20，
（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣/（t﹣h）2+0.4得，0.3＝﹣/（25﹣h）2+0.4，
解得：h＝29或h＝21，
∵h＞25，
∴h＝29，
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
∴m＝100p﹣20，
②当10≤t≤25时，p＝/t﹣/，
∴m＝100（/t﹣/）﹣20＝2t﹣40，
当25≤t≤37时，p＝﹣/（t﹣h）2+0.4，
∴m＝100[﹣/（t﹣h）2+0.4]﹣20＝﹣/（t﹣29）2+20，
（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，
由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，
∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝40t2﹣600t﹣4000，
∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元，
（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，
增加的利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝900×（﹣/）×（t﹣29）2+15000＝﹣/（t﹣29）2+15000，
∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，
综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．
（2019年吉林省）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
（1）求此抛物线的解析式，
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值，
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围，
②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可，
（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1，当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1，
②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解，若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝/8×4﹣/5×1﹣/（4+1）×3＝6，
解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，
得k＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
抛物线顶点为（1，﹣4），
当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
S＝/＝8，
（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1，
当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1，
②当h＝9时
若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解，
若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴△BCP的面积＝/8×4﹣/5×1﹣/（4+1）×3＝6，
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
■考点2.二次函数综合题
◇典例
（2019年辽宁省本溪市）抛物线y＝﹣/x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标，
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）函数的表达式为：y＝/（x+1）（x﹣5），即可求解，
（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2﹣/，0），S△PCF＝/×PC×DF＝/（2﹣m）（2﹣/﹣2）＝5，即可求解，
（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．
解：（1）函数的表达式为：y＝/（x+1）（x﹣5）＝﹣/x2+/x+/，
（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
函数PB的表达式为：y＝﹣/mx+/…①，
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为/，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y＝/…②，
联立①②并解得：x＝2﹣/，
故点F（2﹣/，0），
S△PCF＝/×PC×DF＝/（|2﹣m|）（|2﹣/﹣2|）＝5，
解得：m＝5或﹣3，
故点P（2，﹣3）或（2，5），
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（/）2+4，PF2＝（/）2+m2，
①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（/）2+4，解得：m＝0或/（0舍去），
②当CP＝PF时，同理可得：m＝/，
③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
故点P（2，/）或（2，﹣2）或（2，/）或（2，/）
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
◆变式训练
（2019年广西柳州市）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，/CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，
（2）求△BDP周长的最小值，
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于/CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A．C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），即可求解，
（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，即可求解，
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解．
解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，
故点A．C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），
则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①，
（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，
直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，
则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，
/
D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，
即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），
△BDP周长最小值＝BD+B′B＝/，
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，
/
点A．B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），
则CE＝/，FQ＝/CE，
则PF＝/CE﹣/CE＝/，
设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），
PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，
解得：m＝1，故点P（1，﹣2），
将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：
直线PF的表达式为：y＝﹣/x﹣/…②，
联立①②并解得：x＝/，
故点M、N的坐标分别为：（/，/）、（/，/），
过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，
则S四边形ABMN＝S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM＝/．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），确定PQ最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解．
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选择题
（2019年江苏省连云港市）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
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A．18m2 B．18/m2 C．24/m2 D．/m2
【考点】矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的运用，梯形
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，由直角三角形的，性质得出BE＝/BC＝6﹣/x，得出AD＝CE＝/BE＝6/﹣/x，AB＝AE+BE＝x+6﹣/x＝/x+6，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝/BC＝6﹣/x，
∴AD＝CE＝/BE＝6/﹣/x，AB＝AE+BE＝x+6﹣/x＝/x+6，
∴梯形ABCD面积S＝/（CD+AB）?CE＝/（x+/x+6）?（6/﹣/x）＝﹣/x2+3/x+18/＝﹣/（x﹣4）2+24/，
∴当x＝4时，S最大＝24/．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24/m2，
故选：C．
/
【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
（2019年山东省临沂市）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m，
②小球抛出3秒后，速度越来越快，
③小球抛出3秒时速度为0，
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
/
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【考点】二次函数的应用
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误，
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确，
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确，
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣/，
∴函数解析式为h＝﹣/（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣/（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．
（2019年天津市）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
…
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数的综合题
【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
解：∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
填空题
（2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
/
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
【考点】二次函数的最值，矩形的性质
【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．
解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），
S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
当x＝10时，S最大值为100．
故答案为100．
【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．
（2019年四川省广安市）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用中，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
（2019年四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A．点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝/经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】点C（0，3），反比例函数y＝/经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，故点G（/，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
解：点C（0，3），反比例函数y＝/经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝/，故点G（/，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：/，解得：/，
故答案为：y＝/x2﹣/x+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
解答题
（2019年四川省成都市）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式，
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝/x+/来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
/
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可，
（2）设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量和p＝/x+/，列出w与x的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
/，
解得，/，
∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500，
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp＝（﹣500x+7500）（/x+/），
即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值为16000，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【点评】本题是一次函数的应用与二次函数的应用的综合题，主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，求二次函数的最值．关键是正确列出函数解析式．
（2019年四川省绵阳市）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元，若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题，
（2）根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得：/，
解得/，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元，
（2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意有：m＝（20﹣2a）（200+20a﹣80）＝﹣40a2+160a+2400＝﹣40（a﹣2）2+2560，
∵﹣40＜0，
∴当a＝2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20＝240元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润w最大，最大利润是2560元．
【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（2019年江苏省宿迁市）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
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（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______.
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【考点】等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案.
解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC，
∴BH=BC=2，
∴AH==，
∵S△ABC=，
即，
∴CN=4，
在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3，
∴BN=BA+AN=8，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD，
∵∠CDN+∠NCD=90°，
∴∠EDM=∠DCN，
又∵∠EMD=∠DNC=90°，
∴△EDM≌△DCN，
∴EM=DN，
设BD=x，则DN=8-x，
∴S△BDE===，
∵，
∴S△BDE的最大值为8，
故答案为：8.
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【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
（2019年云南省）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
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【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】(1)当6x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，利用待定系数法求得k、b的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y＝200，由此即可得答案；
(2))设利润为w元，当6≦x≤10时，w＝－200＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w＝200x－1200，由一次函数的性质结合x的取值范围可求得w的最大值为1200，两者比较即可得答案.
解：(1)当6x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，
∴ ，
解得 ，
∴当6x≤10时， y＝-200x+2200，
当10＜x≤12时，y＝200，
综上，y与x的函数解析式为；
(2)设利润为w元，
当6x≤10时，y＝－200x＋2200，
w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200＋1250，
∵－200＜0，6≦x≤10，
当x＝时，w有最大值，此时w=1250；
当10＜x≤12时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，
∴200＞0，
∴w＝200x－1200随x增大而增大，
又∵10＜x≤12，
∴当x＝12时，w最大，此时w=1200，
1250＞1200，
∴w的最大值为1250，
答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.
（2019年贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可
(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.
解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得
，解得，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；
(2)依题意，设利润为w元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，
整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
（2019年辽宁省辽阳市）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
/
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式，
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由图象可得，当x＝30时，y＝140，x＝50时，y＝100
∴/，解得/
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．
（2）设该公司日获利为W元，由题意得
W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴x＝65，
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值，
W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝/时取得．
（2019年湖北省咸宁市）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元，
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
/
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
解：
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
/，解得/
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x≤30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝31时，w最大值＝2320
∴/
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（2019年山东省潍坊市）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1+20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：/，求得x即可
（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
解：
（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元
今年的批发销售总额为10（1+20%）＝12万元
∴/
整理得x2﹣19x﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为m元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
w＝（m﹣24）（/×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240
整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260
∵a＝﹣60＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。
销售量（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量
（2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式。如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；
（2）根据利润＝销量×（售价?成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．
解：（1）设该一次函数解析式为
则，解得：
∴（）
∴当时，，
∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克
（2）由题易知，
当时，则
整理得：
解得：，
∵
∴
所以这天芒果的售价为20元
【点睛】本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键．
（2019年浙江省衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）
…
190
200
210
220
…
y（间）
…
65
60
55
50
…
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
/
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）描点、连线即可得；
（2）待定系数法求解可得；
（3）由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）如图所示：
/
（2）设y＝kx+b，
将（200，60）、（220，50）代入，得：/，
解得/，
∴y＝﹣/x+160（170≤x≤240）；
（3）w＝xy＝x（﹣/x+160）＝﹣/x2+160x，
∴对称轴为直线x＝﹣/＝160，
∵a＝﹣/＜0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x＝170时，w由最大值，最大值为12750元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
（2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
/
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数，
（2）根据利润＝（售价﹣成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．
解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，
当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣/x+50，
当x＞60且x为整数时，y＝20，
（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，
∴w＝（40﹣16）×20＝480元，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣/x+50，
∴w＝（y﹣16）x＝（﹣/x+50﹣16）x，
∴w＝﹣/x2+34x，
∴w＝﹣/（x﹣34）2+578，
∵﹣/＜0，
∴当x＝34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝/x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式，
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由，
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由抛物线C1：y1＝/x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣/+x+2，B（2，3），
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1），②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13），③若E为直角顶点，设E（m，﹣/m2+m+2）不符合题意，
（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，/），N（t，/），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1＝/，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2﹣/，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．
解：由抛物线C1：y1＝/x2+x可得A（﹣2，﹣1），
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c
得 /，
解得/，
∴y2＝﹣/+x+2，
∴B（2，3），
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE?kAB＝﹣1，
∴kBE＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
联立/，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，
∴E（6，﹣1），
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，
联立/，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，
∴E（10，﹣13），
③若E为直角顶点，设E（m，﹣/m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE?kAE＝﹣1，
即/，
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标∴E（6，﹣1）或E（10，﹣13），
（3）∵y1≤y2，
∴﹣2≤x≤2，
设M（t，/），N（t，/），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
/
则Q（﹣/），
S1＝/QM?|yF﹣yA|
＝/
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S2＝/PN?|xA﹣xB|
＝2﹣/
S＝S1+S2＝4t+8，
当t＝2时，
S的最大值为16．
【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（2019年福建省）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在?y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数?k，都有A．D、C三点共线.
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx＋1?k＝k（x?1）＋1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．
解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x?2）2，则c＝4a；
(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),
且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1)
又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点
①c=1，顶点A(1,0)
抛物线的解析式: y= x2－2x+1.
②
/
x2－(2+k)x+k＝0,
x＝(2+k±)
xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；
则D
yC＝(2+k2+k,
C，A(1,0)
∴直线AD表达式中的k值为：k AD==，
直线AC表达式中的k值为：k AC=
∴k AD= k AC, 点A．C、D三点共线.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．
（2019年贵州省遵义市）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
/
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；
（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（-1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+，即可求解．
解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），
∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，
则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：
0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，
故点C（3，3），
作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），
连接AC′交函数C2的对称轴与点P，
/
此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度；
（3）直线OC的表达式为：y＝x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，
/
设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），
则S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2，
∵0，故x，
S△MOC最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
/
