2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法（第2课时）分段函数与映射学案新人教A版必修1

第2课时　分段函数与映射
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)
3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．
2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2．映射
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0，1}，下列对应不是A到B的映射的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
C　[选项C中不但b元素没有对应的元素，而且元素a所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]
2．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
①f(x)＝②f(x)＝
③f(x)＝④f(x)＝
A．①②　　　　　 B．①④
C．②④ D．③④
B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
3．函数f(x)＝则f(f(4))＝________．
0　[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，
∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
分段函数的求值问题
【例1】　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f＝f＝＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2，2)，－3(－2，2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
1.函数f(x)＝则f(7)＝________．
8　[∵函数f(x)＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]
分段函数的解析式
【例2】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
思路点拨：可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．
2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
分段函数的图象及应用
[探究问题]
1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？
提示：能．f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？
提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
【例3】　已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
思路点拨：(1)分－2(2)利用(1)的结论可画出图象；
(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．
[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y＝a与函数y＝f(x)图象的交点个数．
[解]　①当a≥3或a<1时，y＝a与y＝f(x)的图象无交点；
②当1③当a＝1时，y＝a与y＝f(x)的图象有无数个交点．
2．把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．
[解]　(1)f(x)＝|x|－2＝
(2)函数的图象如图所示．
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
映射的概念
【例4】　下列对应是A到B的映射的有(　　)
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f：每个运动员对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝.
A．0个　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
C　[①中，对于A中的元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中的任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]
判断一个对应是不是映射的2个关键
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．
(2)B中的对应元素是不是唯一的．
提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．
3．已知A＝{1，2，3，…，9)，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
[解]　(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A：看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B中的元素不作任何要求.
1．思考辨析
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集． (　　)
(2)分段函数由几个函数构成． (　　)
(3)函数f(x)＝是分段函数． (　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A．　 B．3　　　
C．　　　 D．
D　[∵f(3)＝≤1，
∴f(f(3))＝＋1＝.]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝　[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上f(x)＝]
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
[解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1]．