2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小）值（第2课时）函数的最大（小）值学案新人教A版必修1

第2课时　函数的最大(小)值
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)
4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)
1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
函数最大值与最小值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
1．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1，0　 B．0，2
C．－1，2 D．，2
C　[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值　　　　　 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
D　[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)3．函数f(x)＝，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
1　　[∵f(x)＝在区间[1，2]上为减函数，
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即≤f(x)≤1.]
利用函数的图象求函数的最值(值域)
【例1】　已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解]　(1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．
利用图象求函数最值的方法
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
1.已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
[解]　作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
利用函数的单调性求最值(值域)
【例2】　已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值f(4)＝＝.
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
2．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值．
[解]　设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，2)上是减函数．
同理f(x)在[2，4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
函数最值的实际应用
【例3】　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
[解]　(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤
(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．
(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．
(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．
(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解]　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
二次函数的最值问题
[探究问题]
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？
提示：
2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．
【例4】　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．
思路点拨：

[解]　因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0，1]上的最小值．
[解]　(1)当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
(2)当≥1，即a≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝2－a.
(3)当0<<1，即02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解]　当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝，
①当t≥时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝＋＝t2＋t＋1；
③当t<1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．
1.思考辨析
(1)任何函数都有最大(小)值． (　　)
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))． (　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大 ． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　)
A．[0，3]　　　　　　　 B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.]
3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．
1　[若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]
4．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数的最大值和最小值．
[解]　(1)函数f(x)在x∈[2，6]上是减函数．
证明：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝是区间[2，6]上的减函数．
(2)由(1)可知，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.