2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性（第2课时）奇偶性的应用学案新人教A版必修1

第2课时　奇偶性的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.
1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.
用奇偶性求解析式
【例1】　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
思路点拨：(1)
 

(2)


[解]　(1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝， ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
1．把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x>0”改为“x≥0”，再求f(x)的解析式．
[解]　设x≤0，则－x≥0，则f(－x)＝x＋1.
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1.
故f(x)的解析式为f(x)＝
2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
[解]　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝， ①
用－x代替上式中的x，得
f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝. ②
联立①②得
f(x)＝，g(x)＝.
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
函数单调性和奇偶性的综合问题
[探究问题]
1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
角度一　比较大小问题
【例2】　函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)C．f思路点拨：―→

B　[∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0，2]上单调递增，
∴f比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上．
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]
角度二　解不等式问题
【例3】　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)[解]　因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上为减函数．
又f(1－m)即解得－1≤m<.
故实数m的取值范围是－1≤m<.
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
2.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1　　　　　 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.]
1．具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
3．偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
1．思考辨析
(1)奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同． (　　)
(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)． (　　)
(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．
(　　)
(4) 若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a. (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
A　[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.]
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
C　[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(a)4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解]　f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.