2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念阶段复习课学案新人教A版必修1

第1章 集合与函数概念
求函数的定义域
【例1】　(1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
[解]　(1)解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
1.函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)
A.　　 B.
C. D.∪
D　[由得x<1且x≠，故选D.]
求函数的解析式
【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________．
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
(1)x＋　[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)[解]　因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－＝－1即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且＝0，
即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，
所以f(x)＝x2＋x＋.
函数的性质及应用
【例3】　已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数．
思路点拨：(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；
(2)用单调性的定义求解．
[解]　(1)由题意，得∴故f(x)＝.
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10，1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1，1)上是增函数．
1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解]　由f(t－1)＋f(t)<0得
f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1，1)上是增函数，∴－12．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．
[解]　由题意可知，f(－x)＝f(x)，即＝，∴a＝0，
又f＝，∴b＝，∴f(x)＝.
巧用奇偶性及单调性解不等式
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式．
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
函数的图象及应用
【例4】　已知：函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数f(x)的值域．
[解]　(1)证明：∵函数的定义域为[－3，3]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)当0≤x≤3时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．
(3)函数f(x)的单调区间为：[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]．f(x)在[－3，－1)，[0，1)上为减函数；在[－1，0)，[1，3]上为增函数．
(4)由f(x)的图象可知函数的值域为[－2，2]．
因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．
3.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是________．
(0，3)∪(－3，0)　[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)<0，由题图知，当x>0时，若03，则f(x)>0.
又因为f(x)为奇函数，所以当x<－3时，f(x)<0，当－30.而不等式2xf(x)<0可化为或故不等式的解集为(0，3)∪(－3，0)．]