沪科版八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明（解析版）

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三角形中的边角关系、命题与证明
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡
一、单选题（每题4分共40分)
1．一个三角形至少有（　　）
A．一个锐角????????????? B．两个锐角???????C．一个钝角????????????????D．一个直角
2．在△ABC中，AD是中线，AB＝12 cm，AC＝10 cm，则△ABD和△ACD的周长差为(　 　)
A.7 cm B.6 cm C.2 cm D.14 cm
3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为(　　)

A．40° B．45°
C．50° D．55°
4．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14 B．10 C．3 D．2
5．等腰△ABC的周长为20，其中一边长为9，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A.5.5 B.9 C.11 D.5.5或9
6．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是
A．B．
C． D．
7．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，则∠B的度数是(　　)

A．33° B．23° C．27° D．37°
8．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（ ）

A．α-β＋γ=180° B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90°
9．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A.45° B.45° 或135° C.45°或125° D.135°
10．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题5分共20分)
11．如图，已知在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，∠1+∠2=______°.

12．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．

13．已知△ABC的三边长a、b、c，化简│a＋b－c│－│b－a－c│的结果是_________．
14．如图所示，把的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是5，则的面积是________.

三、解答题（共9题满分90分)
15．如图，AD是ABC的高，AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=90°，∠C=2∠B.

求：（1）∠B的度数； (2) ∠DAE的度数。
16．如图，等腰三角形 ABC 的周长为 10cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x（cm）.

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
17．如图，已知是的平分线，，垂足为点．
求证：．

18．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
19．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明：CD⊥AB．

20．如图1，AB//EF,∠2=2∠1

（1）证明∠FEC=∠FCE；
（2）如图2，M为AC上一点，N为FE延长线上一点，且∠FNM=∠FMN，则∠NMC与∠CFM有何数量关系，并证明.
21．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1、∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（2）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由．

22．如图，已知直线，分别是直线上的点.
（1）在图1中，判断和之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）在图2中，请你直接写出和之间的数量关系（不需要证明）；
（3）在图3中，平分，平分，且，求的度数.

23．我们定义：
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的度数倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”
概念理解：
如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合）

（1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“和谐三角形”
（2）若，求证：是“和谐三角形”.
应用拓展：
如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，.若是“和谐三角形”，求的度数.

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
依据三角形的内角和是180°可知，在一个三角形中，若有一个角等于或大于90°，则另外两角的和一定等于或小于90°，则另外两角都一定是锐角，问题得解．
【详解】
在一个三角形中，若有一个角等于或大于90°，
则另外两角的和一定等于或小于90°，即另外两角都一定是锐角，
故选B．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理．
2．C
【解析】
分析：由三角形中线的定义推知BD=DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB-AC）．
详解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ABD的周长=AB+AD+BD，△ADC的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB-AC=12-10=2．
故选C.

点睛：本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差是解答本题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
由三角形的内角和得出∠BAC=80°，再根据角平分线的性质求∠CAD即可．
【详解】
∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=80°，
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠CAD=40°．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线性质．关键是三角形的内角和得出∠BAC=80°．
4．B
【解析】
【详解】
设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5 ∴3所以选B.
5．D
【解析】
（1）设长为9的边为腰，则底边为：20-9-9=2，因为9、9、2能围成三角形，所以这个等腰三角形的腰长可以为9；
（2）设长为9的边为底边，则腰长为： ，因为9、5.5、5.5能围成三角形，所以这个等腰三角形的腰长可以为5.5.
综上所述，这个等腰三角形的腰长为9或5.5.
故选D.
点睛：（1）解这类题时，一般都需分已知边是腰或底两种情况讨论；（2）求出的结果必须用三角形三边间的关系检验，看能否围成三角形.
6．C
【解析】
AC边上的高应该是过B作AC的垂线段，符合这个条件的是C；A，B，D都不过B点，故错误；
故选C．
7．B
【解析】
【分析】
延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
如图，延长CD交AB于E，

∵∠C=38°，∠A=37°，
∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，
∵∠BDC=98°，
∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
延长CD交AE于点F，利用平行证得β=∠AFD；再利用三角形外角定理及平角定义即可得到答案.
【详解】
如图，延长CD交AE于点F
∵AB∥CD
∴β=∠AFD
∵∠FDE+α=180°
∴∠FDE=180°-α
∵γ+∠FDE=∠ADF
∴γ+180°-α=β
∴α＋β－γ=180°
故选B

【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
9．B
【解析】
【分析】
①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．
【详解】
①如图1，

△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，

∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选B.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
10．C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和外角之间的关系计算．
【详解】
解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+∠A；
故（1）的结论正确；
（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠FBC+∠ECB）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+180°）
=90°-∠A．
故（3）的结论正确．
正确的为：（1）（3）．
故选：C
【点睛】
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
11．220.
【解析】
试题分析：△ABC中，∠A＝40°，=；如图，剪去∠A后成四边形∠1＋∠2+=；∠1＋∠2＝220°
考点：内角和定理
点评：本题考查三角形、四边形的内角和定理，掌握内角和定理是解本题的关键
12．180°
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B=∠BFC，∠D+∠BED=∠COF;再根据三角形内角和定理可得∠BFC+∠COF +∠C=180°，进而可得答案．
【详解】
延长BE交AC于F，BE,CD交点记为O；
∵∠A+∠B=∠BFC，∠D+∠BED=∠COF;
∵∠BFC+∠COF +∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故答案为：180°．

【点睛】
此题主要考查了三角形的内角与外角的关系，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．2（b-c）
【解析】
试题分析：先根据三角形三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
试题解析：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b-a＜c，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2（b-c）
考点：1．三角形三边关系；2．绝对值；2整式的加减．
14．35
【解析】
【分析】
连接、、，由题意得：，，，由三角形的中线性质得出△的面积的面积的面积的面积的面积△的面积△的面积，即可得出△的面积．
【详解】
解：连接、、，如图所示：

由题意得：，，，
△的面积的面积的面积的面积△的面积△的面积△的面积，
△的面积；
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
15．（1）30°；（2）15°
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形两锐角互余列出方程，再整理成关于∠B的方程，然后求解即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再求出∠BAE，然后根据∠DAE=∠BAD-∠BAE计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠C=2∠B，
∴∠B+2∠B=90°，
解得∠B=30°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×90°=45°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．
故答案为：（1）30°；（2）15°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，能正确求出∠BAE、∠BAD的度数是解题的关键．
16．（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形周长与边长的关系式即可确定；（2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出关于x的不等式组，求解集即可；（3）将腰长代入（1）中关系式可得底边长.
【详解】
（1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20，
∴y＝20﹣2x，
（2），
解得：5＜x＜10．
所以x的取值范围为5＜x＜10.
（3）将代入y＝20﹣2x得，所以底边的长为14.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及一元一次不等式组，正确理解题意由三角形满足的条件列出不等式组是解题的关键.
17．见解析
【解析】
【分析】
由AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，易证得∠FDE=∠FAE，可得AE=DE，又由EF⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得.
【详解】
证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDE=∠B+∠BAD，∠FAE=∠EAC+∠CAD，
∵∠B=∠EAC，
∴∠FDE=∠FAE，
∴AE=DE，
∵EF⊥AD，
∴EF平分∠AEB．

【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18．见解析
【解析】
【分析】
当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】
证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．
【点睛】
本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
19．证明见解析.
【解析】
分析：根据平行线的判定推出DG∥AC，推出∠2=∠1=∠DCA,推出CD∥EF,根据平行线的性质推出CD⊥AB.
本题解析：
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定和垂直定义的应用，主要考查了学生的推理能力.要求学生要牢固掌握平行线的基础含义，能够了然于心，做题时能比较上手.
20．(1)见解析；（2）∠CFM＝2∠NMC，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)由平行线的性质可得∠1＝∠CEF，再加上∠2＝2∠1，∠2＝∠CEF+∠C，从而得到结论；
(2)如图，由三角形外角性质可得∠7＝∠3+∠4，从而得到∠C＝∠3+∠4，再加上∠C+∠5＝∠8+∠N可得∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，再加上∠FNM=∠FMN可得：∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，从而得出结论.
【详解】
(1)∵AB//EF,
∴∠1＝∠CEF，
又∵∠2＝2∠1（已知），∠2＝∠CEF+∠C（三角形外角的性质），
∴2∠1＝∠2＝∠1+∠C，
∴∠1＝∠C，
∴∠FEC=∠C，即∠FEC=∠FCE；
(2)如图所示：

∵∠7＝∠3+∠4，∠7＝∠6，∠6＝∠C（已证），
∴∠C＝∠3+∠4，
又∵∠7＝∠6，
∴∠C+∠5＝∠8+∠N，
∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，
又∵∠FNM=∠FMN，
∴∠N＝∠3+∠8，
∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，
又∵∠4+∠5＝∠CFM，
∴∠3+∠CFM＝∠8+∠3+∠8，
∴∠CFM＝2∠8，即∠CFM＝2∠NMC.
【点睛】
考查了三角形外角的性质和内角和定理，解题关键是充分利用了三角形外角的性质和内角和定理和灵活运用了等量代换.
21．（1）∠1＝（180﹣2x）度，∠2＝（180﹣2y）度；（2）∠A＝（∠1+∠2）．
【解析】
【分析】
（1）根据翻折不变性，得到∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据邻补角定义，可得到∠1、∠2的度数（用含有x或y的代数式表示）；
（2）根据（1）中结论和三角形的内角和定理即可求出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠AED＝x度，∠ADE＝y度，
∴∠AEA′＝2x度，∠ADA′＝2y度，
∴∠1＝（180﹣2x）度，
∠2＝（180﹣2y）度；
（2）∵∠1＝（180﹣2x）度①，
∠2＝（180﹣2y）度②，
由①得，x＝（90﹣∠1），
由②得，y＝（90﹣∠2）．
∠A＝180﹣x﹣y＝180﹣（90﹣∠1）﹣（90﹣∠2）＝（∠1+∠2）度．
∴结论为：∠A＝（∠1+∠2）．
【点睛】
此题考查了翻折不变性和三角形的内角和定理及邻补角定义，难度不大，但要注意图形特点，找到隐含条件．
22．（1），证明见析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
(1)如图，过点作直线，由平行线的性质得到，，即可求得；
(2)如图，记AB与NE的交点为G，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM，由此即可得到结论；
(3)由角平分线的定义设，设，由(1)，得，由(2)，得，再根据，可求得，继而可求得.
【详解】
(1)，证明如下：
如图，过点作直线，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

(2)，理由如下：
如图，记AB与NE的交点为G，

又∵AB//CD，
∴∠EGM=∠DNE，
∵∠BME是△EMG的外角，
∴∠BME=∠MEN+∠EGM，
∴∠MEN=∠BME-∠DNE；
(3)∵平分，
∴设，
∵平分，
∴设，
由(1)，得，
由(2)，得，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
23．（1）°，是；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；
（2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据“和谐三角形”的概念证明即可；
应用拓展：首先易证∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，然后根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【详解】
解： (1)∵,
∴,
∴,
∵,
∴为“和谐三角形”,
故答案为：°；是；
(2)证明：∵,,
∵,
∴,
∵,
∴是“和谐三角形”；
应用拓展：
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∵是“和谐三角形”,
∴,或,
∵,
∴或.

【点睛】
本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行线的性质，理解“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页