第四章 图形的性质 第20节 图形的认识
■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点 一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间， 最短．
■考点2.角、角平分线
1.概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝ ′，1′＝ ''，1°＝ ''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角 ，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点 一条直线与已知直线垂直．
② 最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
②内错角相等
③ 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点， 一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线 ．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21世纪教育网版权所有
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.21·世纪*教育网
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.www-2-1-cnjy-com
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
【2016?台湾】如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP =1：3，OB：BP =3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
◆变式训练
（2017年广西桂林市）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= ．
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2019年浙江省湖州市）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据余角的概念进行计算即可．
解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
◆变式训练
【2018德州】如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2019年湖北省襄阳市）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．青 B．来 C．斗 D．奋
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解，
解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋，
故选：D．
【点评】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．
（2019年湖南省益阳市）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．
解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误，
B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误，
C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确，
D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．
◆变式训练
（2019年江苏省连云港市）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省遂宁市）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字
之积是（ ）
A．﹣12 B．0 C．﹣8 D．﹣10
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
【2018邵阳】如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等解答即可．
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
【点评】此题考查对顶角、邻补角，关键是根据对顶角相等解答．
（2019年湖北省孝感市）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝70°，
∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
◆变式训练
（2019年湖北省襄阳市）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
（2019年湖北省随州市）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2019年湖南省娄底市）下列命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°
D．旋转不改变图形的形状和大小
【考点】命题与定理
【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题，
C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题，
D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质，难度不大．
◆变式训练
（2019年安徽省）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）下列四个几何体中，是三棱柱的为( )．
A． B．C． D．
（2019年贵州省毕节市）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是( )
A．国 B．的 C．中 D．梦
（2019年四川省资阳市）如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（ ）
A. 前面 B. 后面 C. 上面 D. 下面
（2019年山东省德州市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
（2019年广西梧州市）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
（2019年湖南省怀化市）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
（2019年贵州省毕节市）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
（2019年吉林省）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
（2019年贵州省铜仁市）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为( )
A．60° B．100° C．120° D．130°
（2019年山东省临沂市）如图，a∥b，若∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．80° C．70° D．60°
（2019年广西贵港市）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝ ．
、选择题
（2019年四川省南充市）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
（2019年贵州省贵阳市 ）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．18
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75°方向处 B．在5km处
C．在南偏东15°方向5km处 D．在南偏东75°方向5km处
（2019年广西贺州市）如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．120°
（2019年贵州省遵义市）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
（2019年广东省深圳市）如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年湖北省十堰市）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
（2019年湖南省岳阳市）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
（2019年湖南省邵阳市）如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列等式一定成立的是（ ）
A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
（2019年江苏省苏州市）如图，已知直线，直线与直线分别交于点．若，则( )
A． B． C． D．
（2019年四川省泸州市）如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
（2019年山东省泰安市）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（ ）
A．150° B．180° C．210° D．240°
填空题
（2019年四川省攀枝花市）如图是一个多面体的表面展开图，如果面在前面，从左面看是面，那么从上面看是面__________（填字母）
（2019年江苏省常州市）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
（2019年广西柳州市）如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是 ．
（2019年云南省）如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝___________度.
（2019年辽宁省大连市）如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝ °．
（2019年广东省）如图，已知，，则_____.
（2019年湖北省黄冈市）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 ．
（2019年四川省绵阳市）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2＝ ．
（2019年山东省青岛市）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
（2019年湖北省荆州市）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm2．
（2019年浙江省台州市）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．
（2019年山东省聊城市）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为 （n≥3，n是整数）．
作图题
（2019年山东省青岛市）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
解答题
（2019年江苏省镇江市）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度，
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度，
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝ ，
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象，
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是 ．（直接写出结果）
第四章 图形的性质 第20节 图形的认识
■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■考点2.角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ 900 ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ 1800 ?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等 两直线平行
②内错角相等 两直线平行
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21教育网
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.www-2-1-cnjy-com
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
【2016?台湾】如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP =1：3，OB：BP =3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
◆变式训练
（2017年广西桂林市）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= ．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据中点定义解答．
解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB=2×2=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质．
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2019年浙江省湖州市）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据余角的概念进行计算即可．
解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
◆变式训练
【2018德州】如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
【考点】余角和补角
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2019年湖北省襄阳市）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．青 B．来 C．斗 D．奋
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解，
解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋，
故选：D．
【点评】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．
（2019年湖南省益阳市）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．
解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误，
B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误，
C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确，
D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．
◆变式训练
（2019年江苏省连云港市）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．
（2019年四川省遂宁市）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字
之积是（ ）
A．﹣12 B．0 C．﹣8 D．﹣10
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣12．
解：数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣2×6＝﹣12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键是掌握正方体展开图的特点．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
【2018邵阳】如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等解答即可．
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
【点评】此题考查对顶角、邻补角，关键是根据对顶角相等解答．
（2019年湖北省孝感市）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝70°，
∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
◆变式训练
（2019年湖北省襄阳市）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】先在直角△CBD中可求得∠DBC的度数，然后平行线的性质可求得∠1的度数．
解：∵CD⊥AB于点D，∠BCD＝40°，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°．
∴∠DBC＝50°．
∵直线BC∥AE，
∴∠1＝∠DBC＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（2019年湖北省随州市）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】平行线的性质
【分析】根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2．
解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°．
又∵直线ll∥12，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2019年湖南省娄底市）下列命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°
D．旋转不改变图形的形状和大小
【考点】命题与定理
【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题，
C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题，
D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质，难度不大．
◆变式训练
（2019年安徽省）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
【考点】命题与定理
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.
解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】点、线、面、体
【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．
解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故选：D．
【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）下列四个几何体中，是三棱柱的为( )．
A． B．C． D．
【考点】认识立体图形
【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；
B、该几何体为四棱锥，不符合题意；
C、该几何体为三棱柱，符合题意；
D、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．
（2019年贵州省毕节市）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是( )
A．国 B．的 C．中 D．梦
【考点】正方体的展开图形
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，
故选B.
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，正方体相对两个面上的文字，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
（2019年四川省资阳市）如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（ ）
A. 前面 B. 后面 C. 上面 D. 下面
【考点】正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“a”与“f”是相对面，
“b”与“d”是相对面，“d”在上面，
“c”与“e”是相对面，“c”在左面，“e”在右面．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（2019年山东省德州市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，
选项B能折叠成原几何体的形式，
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据互为余角的定义作答．
解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
（2019年广西梧州市）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】钟面角
【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键．
（2019年湖南省怀化市）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
【考点】余角和补角
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．
（2019年贵州省毕节市）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
【考点】点到直线的距离
【分析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度进行求解即可.
解：点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，
故选C.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键.
（2019年吉林省）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【考点】直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，垂线段最短，平行公理及推论
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．
（2019年贵州省铜仁市）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为( )
A．60° B．100° C．120° D．130°
【考点】平行线的判定与性质
【分析】利用平行线的性质求出∠5＝∠2，再根据互补的定理即可解答
解：∵∠1＝∠3，
∴a∥b，
∴∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝180°﹣60°＝120°，
故选：C.
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于利用平行线的性质进行解答
（2019年山东省临沂市）如图，a∥b，若∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．80° C．70° D．60°
【考点】邻补角的定义．平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，进而得出∠2的度数．
解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝110°．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
（2019年广西贵港市）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝ ．
【考点】平行线的性质
【分析】如图，利用平行线的性质得到∠2＝∠3，利用互补求出∠3，从而得到∠2的度数．
解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣38°＝142°．
故答案为142°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．
、选择题
（2019年四川省南充市）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答.
解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
（2019年贵州省贵阳市 ）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．18
【考点】两点间的距离
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，
∴9﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【考点】方向角
【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．
解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75°方向处 B．在5km处
C．在南偏东15°方向5km处 D．在南偏东75°方向5km处
【考点】方向角．
【分析】根据方向角的定义即可得到结论．
解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．
（2019年广西贺州市）如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．120°
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质得出∠2的度数．
解：∵直线a∥b，∠1＝60°，
∴∠2＝60°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键．
（2019年贵州省遵义市）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
【考点】平行线的判定与性质
【分析】求出∠5=∠2，根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出即可．
解：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴a∥b，
∴∠4＝∠6，
∵∠3＝104°，
∴∠6＝180°﹣∠3＝76°，
∴∠4＝76°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确利用定理进行推理是解此题的关键．
（2019年广东省深圳市）如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平分线的定义，平行线的性质
【分析】利用平行线的性质得到∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，再根据角平分线的定义得到∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1，从而可对各选项进行判断．
解：∵l1∥AB，
∴∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，
∵AC为角平分线，
∴∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
（2019年湖北省十堰市）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．
解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
（2019年湖南省岳阳市）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【考点】角平分线的定义，平行线的性质
【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．
解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC＝25°是解题关键．
（2019年湖南省邵阳市）如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列等式一定成立的是（ ）
A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
【考点】对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角
【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，A，B，C成立的条件题目并没有提供，而D选项中邻补角的和为180°一定正确．
解：∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的性质可知，选项A，B，C成立的条件为l1∥l2时，而∠1与∠4是邻补角，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念．本题属于基础题，难度不大．
（2019年江苏省苏州市）如图，已知直线，直线与直线分别交于点．若，则( )
A． B． C． D．
【考点】对顶角性质，平行线性质
【分析】利用对顶角得到，利用平行线性质得到，得出即可
解：根据对顶角相等得到
根据两直线平行，同旁内角互补得到
所以
故选A
【点睛】本题考查对顶角性质与平行线性质，基础知识牢固是解题关键
（2019年四川省泸州市）如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
解：∵AC∥BD，∠B＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∵BC⊥DE，
∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACB＝40°．
（2019年山东省泰安市）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（ ）
A．150° B．180° C．210° D．240°
【考点】平行线的性质
【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．
解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
填空题
（2019年四川省攀枝花市）如图是一个多面体的表面展开图，如果面在前面，从左面看是面，那么从上面看是面__________（填字母）
【考点】几何体的展开图
【分析】由面F在前面，从左面看是面B知底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上面是E．
解：由题意知，底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上面是E；
或地面为E,左侧是B，前面是F，后面是A，右侧是D，上面是C.
故答案为：C或E．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意立方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（2019年江苏省常州市）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【考点】余角和补角
【分析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
故答案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
（2019年广西柳州市）如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是 ．
【考点】平行线的性质
【分析】利用平行线的性质进行判断．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3．
故答案为
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．
（2019年云南省）如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝___________度.
【考点】平行线的性质，邻补角的定义
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，再根据邻补角的定义即可求得答案.
解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠3=140°，
故答案为：140.
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，正确把握平行线的性质是解题的关键.
（2019年辽宁省大连市）如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝ °．
【考点】平行线的性质
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠C＝50°，再根据BC∥DE可根据两直线平行，同旁内角互补可得答案．
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 两直线平行，内错角相等．
（2019年广东省）如图，已知，，则_____.
【考点】邻补角的定义，平行线的性质
【分析】如图，根据邻补角的定义求出∠3的度数，继而根据平行线的性质即可求得答案.
解：∵∠1+∠3=180°，∠1=75°，
∴∠3=105°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=105°，
故答案为：105°.
【点睛】本题考查了邻补角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键.
（2019年湖北省黄冈市）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 ．
【考点】角平分线的定义．平行线的性质
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DAC的度数．
解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠BAC＝100°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
（2019年四川省绵阳市）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2＝ ．
【考点】角平分线的定义，平行线的性质
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB＝180°，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠ABD，∠2＝∠CDB，进而可得结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BE是∠ABD的平分线，
∴∠1＝∠ABD，
∵BE是∠BDC的平分线，
∴∠2＝∠CDB，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
（2019年山东省青岛市）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
【考点】认识立体图形，几何体的表面积
【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个．
解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：
故答案为：16
【点评】本题主要考查了几何体的表面积．
（2019年湖北省荆州市）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm2．
【考点】截一个几何体，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】根据已知条件得到GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，求得GH＝GF＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，
∴GF＝GE＝EF＝＝2，
过G作GH⊥EF于H，
∴GH＝GF＝，
∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
（2019年浙江省台州市）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．
【考点】推理与论证，规律型：数字的变化类
【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数．
解：∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140，
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94，
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．
（2019年山东省聊城市）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为 （n≥3，n是整数）．
【考点】数轴，规律型：图形的变化类，两点间的距离
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4＝，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
解：由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，
故线段AnA的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．
故答案为：4﹣．
【点评】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
作图题
（2019年山东省青岛市）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【考点】直角三角形的性质，作图—复杂作图
【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．
解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
解答题
（2019年江苏省镇江市）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度，
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度，
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝ ，
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象，
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是 ．（直接写出结果）
【考点】一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论，
②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论，
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论，
②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论，
【拓展】由题意得到x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），得到y＝﹣5x+300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），
∴m＝90，
故答案为：90，
②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），
∴m＝120，
故答案为：120，
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+150＝（150﹣x），
∴x＝50，
经检验：x＝50是分式方程的根，
即：a＝50，
故答案为：50，
②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣3x+300，
即：y＝，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣5x+300，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
∴﹣5x+300≤60，
∴x≥48，
∵x＜75，
∴48≤x＜75，
故答案为48≤x＜75．
【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
