第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到 相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2019年四川省自贡市）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角形三边的关系
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
?三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
◆变式训练
（2019年浙江省金华市、丽水市）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
■考点2.角的关系
◇典例：
（2019年广西百色市）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．
◆变式训练
（2019年湖北省宜昌市）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
（2019年四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
（2019年广西梧州市）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是 cm．
【考点】三角形中位线定理
【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．
解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
◆变式训练
（2019年贵州省铜仁市）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于_______cm.
（2018年天津市）如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
（2019年贵州省毕节市）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cm
C．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
（2019年浙江省台州市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
（2019年河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
（2019年河南省 (1)）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2019年山东省枣庄市）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
（2019年江苏省盐城市）如图，点D、E分别是△ABC边BA．BC的中点，AC＝3，则DE的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2019年吉林省）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ °．
（2019年吉林省长春市）如图，直线MN∥PQ，点A．B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度．
（2019年广西百色市）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
（2019年湖南省长沙市）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
选择题（本大题共33小题，）
（2019年江苏省扬州）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
（2019年江苏省徐州市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
（2019年江苏省泰州市）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A．B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
（2019年江苏省淮安市）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
（2019年辽宁省辽阳市）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2019年湖北省荆门市）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
（2019年江苏省宿迁市）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省眉山市）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
（2019年山东省东营市）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75° B．90° C．105° D．115°
（2019年浙江省绍兴市）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
（2019年浙江省杭州市）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
（2019年广西河池市）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
（2019年贵州省铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
填空题
（2019年北京市）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
（2019年湖南省郴州市）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为 度．
（2019年江苏省泰州市）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填
（2019年山东省威海市）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ ．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
解答题
（2019年湖北省武汉市）如图，点A．B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
（2019年四川省广元市）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．
（2018年北京市）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 不在同一直线上的 三条线段 首尾顺次 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心,内心 到三边的距离相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 重心 ：每条中线平分三角形的 面积
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 垂心
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 两边中点 的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2019年四川省自贡市）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角形三边的关系
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
?三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
◆变式训练
（2019年浙江省金华市、丽水市）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
■考点2.角的关系
◇典例：
（2019年广西百色市）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．
◆变式训练
（2019年湖北省宜昌市）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．
解：由题意可得：∵∠α＝135°，
∴∠1＝45°，
∴∠β＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．
（2019年四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
（2019年广西梧州市）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是 cm．
【考点】三角形中位线定理
【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．
解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
◆变式训练
（2019年贵州省铜仁市）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于_______cm.
【考点】线段垂直平分线，三角形中位线定理
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AB=BC=7cm，由三角形中位线定理得出ED的长，即可得出答案．
解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm.
故答案为：10.
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出ED的值
（2018年天津市）如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.
解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG=.
在RtΔDEG中，DG=
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.
（2019年贵州省毕节市）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cm
C．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可.
解：A．2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＞7，能组成三角形；
C、2+2＜6，不能组成三角形；
D、5+6＞7，能够组成三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了三角形构成条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.
（2019年浙江省台州市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系即可求
解：
A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选：B．
【点评】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（2019年河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【考点】平行线的判定，三角形外角的性质
【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D，根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A，利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C，根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
证明：延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
（2019年河南省 (1)）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质
【分析】根据平行线的性质解答即可．
解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
（2019年山东省枣庄市）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】三角形的内角和定理，三角形的外角性质
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
（2019年江苏省盐城市）如图，点D、E分别是△ABC边BA．BC的中点，AC＝3，则DE的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点】三角形中位线定理
【分析】直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
解：∵点D、E分别是△ABC的边BA．BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝1.5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．
（2019年吉林省）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ °．
【考点】平行线的性质
【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
解：∵ED∥BC，
∴∠CED＝∠C＝50°，
又∵∠BAC＝70°，
∴△ABC中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
（2019年吉林省长春市）如图，直线MN∥PQ，点A．B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度．
【考点】垂线，平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．
（2019年广西百色市）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
【考点】三角形的稳定性，多边形
【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，据此可得∠A'为30°．
解：∵，
∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，
∴∠A'＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
（2019年湖南省长沙市）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
【考点】三角形中位线定理
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×50＝100米．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
选择题（本大题共33小题，）
（2019年江苏省扬州）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】一元一次不等式组的应用，三角形三边关系
【分析】分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案.
解：∵n+2∴分n+8最大与3n最大两种情况，
当n+8最大时，，
解得 ：2又∵n为正整数，
∴n=3，4；
当3n最大时，
解得：4≤n<10，
又∵n为正整数，
∴n=4，5，6，7，8，9，
综上：n的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能，
故选D.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.
（2019年江苏省徐州市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．
解：∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，
∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，
∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，
∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
（2019年江苏省泰州市）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A．B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【考点】三角形的重心
【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．
（2019年江苏省淮安市）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
【考点】三角形三边关系
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解：A．2+3＞4，能构成三角形，不合题意，
B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意，
C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意，
D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
（2019年辽宁省辽阳市）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BFE的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EFG的度数，进而得出∠BFG的度数．
解：∵AD∥BC，∠1＝130°，
∴∠BFE＝180°﹣∠1＝50°，
又∵∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝60°，
∴∠BFG＝50°+60°＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
解：直线，
，
，，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握.
（2019年湖北省荆门市）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（2019年江苏省宿迁市）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数．
解：由题意知，，
∵，
∴，
在中，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形．
（2019年四川省眉山市）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】由∠B＝30°，∠ADC＝70°，利用外角的性质求出∠BAD，再利用AD平分∠BAC，求出∠BAC，再利用三角形的内角和，即可求出∠C的度数．
解：∵∠B＝30°，∠ADC＝70°
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，本题较为综合，但难度不大．
键．
（2019年山东省东营市）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75° B．90° C．105° D．115°
【考点】平行线的判定，三角形外角性质
【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．
解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
（2019年浙江省绍兴市）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理
【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∠3＝∠2＝100°，
∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
（2019年浙江省杭州市）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
（2019年广西河池市）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【分析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAC．
A．根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
（2019年贵州省铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
【考点】三角形中位线定理，勾股定理
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．
解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选：A．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
填空题
（2019年北京市）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
【考点】三角形的面积
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝AB?CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．
【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
（2019年湖南省郴州市）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为 度．
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题关键．
（2019年江苏省泰州市）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命题”或“假命题”）．
【考点】命题与定理
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题，
故答案为：真命题
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．
（2019年山东省威海市）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ ．
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，平行线的性质
【分析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．
解：如图，延长BC、AD相交于点F，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠FCE＝90°，
∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，
∴△EBC≌△EFC（ASA），
∴BC＝CF，
∵AB∥DC，
∴AD＝DF，
∴DC＝．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
（2019年黑龙江省哈尔滨市）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
【考点】三角形内角和定理
【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可.
解：分两种情况：
①如图1，当时，
∵，
∴；
②如图2，当时，
∵，，
∴，
∴，
综上，则的度数为或；
故答案为：或；
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键.
解答题
（2019年湖北省武汉市）如图，点A．B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．
解：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．
（2019年四川省广元市）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出FE＝AB，FE∥AB，得出∠EFC＝∠BAC＝90°，得出∠DAF＝∠EFC，AD＝FE，证明△ADF≌△FEC得出DF＝EC，即可得出结论．
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，
∴FE＝AB，FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵AD＝AB，
∴AD＝FE，
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
（2018年北京市）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
【考点】作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，三角形中位线定理
【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）利用三角形中位线定理证明即可；
（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
