人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第02章 章末检测

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用数学归纳法证明等式，验证时，左边应取的项是
A． B．
C． D．
2．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论错误
3．下列推理是演绎推理的是
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列前n项和Sn的表达式
C．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4．证明不等式（）所用的最适合的方法是
A．综合法 B．分析法
C．间接证法 D．合情推理法
5．已知圆的面积为，由此推理椭圆的面积最有可能是
A． B．
C． D．
6．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上
A． B．
C． D．
7．若数列是等差数列,,则数列也为等差数列,类比这一性质可知,若正项数列是等比数列,且也是等比数列,则的表达式应为
A． B．
C． D．
8．实数，，满足，，则的值
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正、负不确定
9．观察式子：，，，…，可归纳出式子为
A． B．
C． D．
10．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则
A．甲和乙不可能同时获奖 B．丙和丁不可能同时获奖
C．乙和丁不可能同时获奖 D．丁和甲不可能同时获奖
11．对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是
A．25 B．250
C．55 D．133
12．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为
A．2097 B．1553
C．1517 D．2111
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是_____________.
14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是_____________.
15．我们知道,在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________.
16．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________________．
17．观察以下等式：
，
，
，
，
，
……
可以推测________________(用含有的式子表示，其中为自然数)．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．已知，且求证：中至少有一个是负数.
19．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为，（如图），则．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．
20．证明下列不等式：
（1）当时，求证：；
（2）设，，若，求证：.
21．观察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第行的最后一个数是多少？
（2）此表第行的各个数之和是多少？
（3）2017是第几行的第几个数？
22．已知称为x，y的二维平方平均数，称为x，y的二维算术平均数，称为x，y的二维几何平均数，称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．
（1）试判断与的大小，并证明你的猜想；
（2）令，，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；
（3）令，，，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想．
23．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：.
参考答案
1．【答案】D
【解析】等式左边的数是从加到，当时，，故此时左边的数为从加到．故选D．
2．【答案】A
【解析】大前提，“菱形的对角线相等”，小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分，不一定相等．故推理中错误的是大前提，故选A．
3．【答案】A
【解析】B，C是归纳推理，D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．
4．【答案】B
5．【答案】C
【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r，短半轴为r，，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则．故选C．
6．【答案】A
【解析】由题可得,当时,左边为,所以在时，对应的等式的两边加上.故选A．
7．【答案】D
【解析】类比所给性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为.选D．
8．【答案】B
9．【答案】C
【解析】观察式子：，，，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为．故选C．
10．【答案】C
【解析】若甲、乙、丙同时获奖，则甲、丙的话错，乙、丁的话对，符合题意；
若甲、乙、丁同时获奖，则乙的话错，甲、丙、丁的话对，不合题意；
若甲、丙、丁同时获奖，则丙、丁的话错，甲、乙的话对，符合题意；
若丙、乙、丁同时获奖，则甲、乙、丙的话错，丁的话对，不合题意.
因此乙和丁不可能同时获奖，选C．
11．【答案】D
【解析】第1次操作为，第2次操作为，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现．∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D．
12．【答案】C
【解析】根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=1517，得a=157，是自然数．故选C．
13．【答案】都不能被5整除
【解析】反设的内容是“中至少有一个能被5整除”的反面，即中没有一个能被5整除，即都不能被5整除.
14．【答案】正方形的对角线相等
【解析】由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”是大前提，
“正方形是平行四边形”是小前提，
则结论为“正方形的对角线相等”，
所以答案是：正方形的对角线相等.
15．【答案】
16．【答案】甲
【解析】若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．故填甲．
17．【答案】
18．【解析】假设都是非负数，
因为，
所以，
又，
所以，
这与已知矛盾.
所以中至少有一个是负数.
19．【解析】命题：长方体中(如图)，对角线与棱、、所成的角分别为，则．
证明：∵，，，
∴．
20．【解析】（1）要证，
即证，
只要证，
只要证，
只要证，由于，
只要证，
最后一个不等式显然成立，
所以.
（2）因为，，，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
22．【解析】（1）．证明如下：
欲证，即证，
即证，即证，
上式显然成立，所以．
（2）．
首先证明：
欲证，即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
上式显然成立，等号成立的条件是，
故．
再证：
欲证，
即证，
即证，
当时，上式显然成立，
当时，即证，
而此式子在证明已经成功证明，所以原命题成立．
（2）当n＝1时，.
当n≥2时，由（1）知，
an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
所以，
所以.
综上所述，对任意n∈N*，成立.