人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.2 导数的计算

知识
1．几个常用函数的导数
几个常用函数的导数如下表：
函数
导数
（为常数）
2．基本初等函数的导数公式
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则；
（7）若，则；
（8）若，则．
3．导数运算法则
（1）；
（2）；
（3）．
4．复合函数的导数
（1）复合函数的定义
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite fun_ction)，记作．
（2）复合函数的求导法则
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
知识参考答案：
1． 2．

4．
重点
重点
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
难点
导数的四则运算法则
易错
求导公式及求导法则记忆错误
难点 求函数的导数
（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．
（2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：
①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．
②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．
③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．
（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导．
下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．
求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方法1：
．
方法2：因为，
所以．
（2）．
（3）．
难点 复合函数求导
对于复合函数的求导，一般步骤为：
（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；
（2）利用求导法则分层求导；
（3）最终结果要将中间变量换成自变量．
求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】见解析．
【名师点睛】复合函数的求导，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导．
重点 导数几何意义的应用
利用导数的几何意义解题时需注意：
（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；
（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．
过函数的图象上一点的切线方程是
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【名师点睛】求切线方程时，首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
已知曲线，直线，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标．
【答案】直线l的方程为，切点坐标为．
【解析】∵直线l过原点，∴直线l的斜率为，
由点在曲线C上，得，则．
又，∴，
又，∴，整理得．
∵，∴，此时，．因此直线l的方程为，切点坐标为．
【名师点睛】求解时，注意根据题目条件舍去不合适的解，如本题需舍去．
易错 因公式记忆不准确而致误
求函数的导数．
【错解】．
【错因分析】，错解中因漏掉负号致误．
【正解】．
【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．
基础训练
1．已知，则
A． B．
C． D．
2．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
3．若曲线在点处的切线方程是，则
A． B．
C． D．
4．已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为
A． B．
C． D．
5．设函数的导函数为，且，则
A． B．
C． D．
6．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数
A． B．
C． D．
7．已知函数，则
A． B．
C． D．
8．已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为________________．
9．已知函数的图象在点处的切线过点，则实数________________．
10．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数________________．
11．求下列各函数的导数：
（1）；
（2）．
12．已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程．
能力提升
13．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A． B．
C． D．
14．若曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为
A． B．
C． D．
15．函数在点处的切线的斜率的最小值为
A． B．
C． D．
16．已知点在曲线上，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的纵坐标为
A． B．
C． D．
17．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A． B．
C． D．
18．若直线与曲线相切于点，则实数的值为________________．
19．已知直线与曲线相切，则实数的值为________________．
20．已知函数的导函数为，且满足，则________________．
21．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________________．
22．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求满足斜率为的曲线的切线方程；
（3）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程．

真题练习
23．（2019新课标全国Ⅰ理）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
24．（2019四川）设直线l1，l2分别是函数图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是
A． B．
C． D．
25．（2019天津）已知函数，为f(x)的导函数，则的值为________________．
26．（2018新课标全国Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________________．
27．（2018新课标全国Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为________________．
28．（2019新课标全国Ⅰ）曲线在点（1，2）处的切线方程为________________．
29．（2019新课标全国Ⅲ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________________．
参考答案
1．【答案】D
【解析】常函数的导数为，所以时，．故选D．
2．【答案】A
3．【答案】A
【解析】因为，所以，所以时，，所以曲线在点处的切线方程为，又因为曲线在点处的切线方程为，所以，故选A．
4．【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，故选B．
5．【答案】D
【解析】因为，所以，解得，故选D．
6．【答案】B
【解析】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得．故选B．
7．【答案】C
8．【答案】3
【解析】因为，所以．
9．【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，解得．
10．【答案】
【解析】由已知得，则，所以，解得．
11．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
（2）因为，所以．
12．【答案】或
【解析】设直线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，
则直线的方程为，因为，所以，
又点在切线上，所以，
解得或，则或．
所以直线的方程为或，
即或．
13．【答案】A
【解析】因为，所以切线的斜率为，切线方程为，令得；令得，故围成的三角形的面积为，故选A．
14．【答案】A
15．【答案】A
【解析】由题意得，所以在点处的切线的斜率为，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以在点处的切线斜率的最小值是，故选A．
16．【答案】D
【解析】设，因为，所以，所以．
故点处切线的斜率，由导数的几何意义可得，即，
解得，所以．故选D．
17．【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，
所以曲线在点处切线的斜率为．故选A．
18．【答案】3
【解析】由题意得，所以 ①．
因为切点为，所以 ②， ③，由①②③解得，．
19．【答案】
20．【答案】
【解析】∵，∴，
令，则，∴；令，则，
∴，∴．
21．【答案】8
【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线方程为，即．又切线与曲线相切，当时，，显然与平行，故，由，得，则，解得．
22．【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】（1）由已知得，
因为切点为，所以切线的斜率，
则切线方程为，即．
（3）设切点坐标为，由已知得直线的斜率为，且，
则切线方程为，即，
将代入得，，则直线的方程为，即．
23．【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D．
【名师点睛】本题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果．
24．【答案】A
【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程为，切线的方程为，即．
分别令得与的交点为．
，故选A．
25．【答案】e
【解析】由题可得，
则．即的值为e．
26．【答案】
【解析】，则，所以．
27．【答案】
【解析】由题可得，所以切线的斜率，故所求的切线方程为．
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理．
28．【答案】
29．【答案】
【解析】当时，，则．
又因为为偶函数，所以，所以，则，
所以切线方程为，即．