人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3.1 函数的单调性与导数

知识
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减．
注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
2．函数图象与之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
知识参考答案：
1． 2．大
重点
重点
利用导数判断函数的单调性
难点
导数在解决单调性问题中的应用
易错
（1）由函数的单调性确定参数的取值范围时，不要忽略的情况；（2）求函数的单调区间时，一定要在定义域范围内求解
重点 利用导数判断函数的单调性
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：
①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）函数的定义域为．．
令，解得；令，解得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【名师点睛】由于在某区间上，个别点使导数为零不影响函数的单调性，故单调区间也可以写为闭区间的形式．
已知函数其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间．
【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2），令，解得或．
因为，所以分两种情况讨论：
①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
+
–
+


所以的单调递增区间是，;的单调递减区间是．
②若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
+
–
+
所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是．
【名师点睛】对于含有参数的函数的单调性，要注意分类讨论的标准及函数的定义域．
重点 函数与导函数图象之间的关系
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为

A B C D
【答案】D
【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为：
对于①，函数值增加得越来越快，且越来越大；
对于②，函数值增加得越来越慢，且越来越小；
对于③，函数值减少得越来越快，且越来越小，绝对值越来越大；
对于④，函数值减少得越来越慢，且越来越大，绝对值越来越小．
已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【答案】D
【解析】当时，在上的函数值非负在上，故函数在上单调递增；当时，在上的函数值非负在上，故在上单调递减，观察各选项可知选D．
难点 导数在解决单调性问题中的应用
（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题．
（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
已知函数，．若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围．
【答案】．
方法2：函数的定义域为，
，∴．
方程的根的判别式为．
①当，即时，，
此时，对都成立，
故函数在定义域上是增函数．
②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，
只需对都成立．
设，则，得．故．
综合①②得的取值范围为．
【名师点睛】函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．求解时一定要注意．
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．
（2）因为在上为减函数，且，
所以在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以，于是，故实数a的取值范围为．
设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
（2）当时，，所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，
存在，，，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
故c的取值范围为．
（3）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同零点，
所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【名师点睛】此题综合了导数、零点、充要条件等知识，这就要求同学们在学习时，要注意与前面的知识综合，做到知识的灵活运用．第（3）问在证明必要而不充分条件时，一定分清谁是条件，谁是结论．
易错 求函数单调区间时忽略函数的定义域
函数的单调递增区间为________________．
【错解】由得，
令，得或，
则或．
故函数的单调递增区间为，．
【错因分析】错解中忽略了函数的定义域为．
【正解】由得，且，
令，得，则．
故函数的单调递增区间为．
【名师点睛】讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，一定要在函数的定义域范围内求解，即要遵循定义域优先的原则．
基础训练
1．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
2．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是
4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
5．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
6．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
7．函数为上增函数的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
8．函数为上的减函数，则实数的取值范围为________________．
9．函数的单调递增区间为________________．
10．已知函数，求函数的单调区间．
11．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

能力提升
12．若，则
A． B．
C． D．
13．函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
14．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
15．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
17．已知，若在区间上为增函数，则实数的取值范围是________________．
18．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是________________．
19．已知函数．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．

真题练习
20．（2018新课标全国Ⅲ）函数的图象大致为
A B C D
21．（2018新课标全国Ⅱ理）函数的图象大致为
A B C D
22．（2019浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是
23．（2019新课标全国Ⅱ）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
24．（2019新课标全国Ⅰ）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
25．（2019山东模拟）若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是
A． B．
C． D．
26．（2018新课标全国Ⅰ节选）已知函数，讨论的单调性．
27．（2019新课标全国Ⅱ节选）设函数，讨论的单调性．

28．（2019山东模拟）已知函数，讨论的单调性．
29．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．

30．（2018新课标全国Ⅱ）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
31．（2019浙江）已知函数f(x)=?lnx．
（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；
（2）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

32．（2019天津模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．

参考答案
1．【答案】C
【解析】因为，所以，令，解得．故选C．
2．【答案】D
【解析】因为，所以，解得，故选D．
3．【答案】D
【解析】由图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于，再小于，最后大于．故选D．
4．【答案】B
【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，，故B符合题意．故选B．
5．【答案】D
6．【答案】B
【解析】函数的定义域为，，由，得．根据题意，可得且，解得，故实数的取值范围是．故选B．
7．【答案】B
【解析】函数为上增函数的充分必要条件是在上恒成立，
所以恒成立，因为，所以，
观察各选项可知函数为上增函数的一个充分不必要条件是，故选B．
8．【答案】
【解析】，因为函数为上的减函数，所以在上恒成立，即恒成立．因为，所以，故实数的取值范围为．
9．【答案】
【解析】函数的定义域为，令，
解得或（舍去），所以函数的单调递增区间为．
10．【答案】单调增区间为，，单调减区间为．
11．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
则，所以．
又，所以所求切线方程为，即．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题可得，
令，即，解得或．
当时，恒成立，不符合题意．
当时，函数的单调递减区间是，
若在区间上是减函数，则，解得．
当时，函数的单调递减区间是，
若在区间上是减函数，则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
12．【答案】B
【解析】设，则，所以当时，，当时，，则函数在上单调递减，因为，所以．故选B．
13．【答案】D
【解析】若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
又，所以．故选D．
14．【答案】B
【解析】因为，所以，
因为函数在区间内是增函数，
所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．
15．【答案】C
16．【答案】C
【解析】由题可得，若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，，所以在区间上恒成立．又当时，取得最大值为，所以，故实数的取值范围为．故选C．
17．【答案】
【解析】由题意可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为且，所以，故实数的取值范围是．
18．【答案】1
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，
所以，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为．
（2）易知函数的定义域为，
，
令，解得，，
①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是．
②当，即时，在区间和上，在区间上，
故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
20．【答案】D
21．【答案】B
【解析】因为，排除选项D；因为，，所以为奇函数，排除选项A；因为，所以当时，，排除选项C，故选B．
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
22．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
23．【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
24．【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
25．【答案】A
26．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【分析】分，，分别讨论函数的单调性即可．
【解析】函数的定义域为，，
①若，则，在上单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【名师点睛】本题主要考查函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间．
27．【答案】在和上单调递减，在上单调递增．
【分析】先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间即可．
28．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
【分析】先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【解析】函数的定义域为，故.
若，则当时，，故在上单调递增.
若，则当时，；当时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
29．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），，
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，因此．
30．【答案】（1）在（–∞，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减；（2）证明见解析．
【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得．
（2）由于，所以等价于．
设=，则g′（x）=≥0，
仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．
故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
【名师点睛】（1）用导数求函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数．（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证．
31．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
设，则，所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
-
0
+

2-4ln2
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，
即．
（2）令m=，n=，
则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，
所以存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，
所以对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．
由f（x）=kx+a得．
设h（x）=，则h′（x）=，其中g（x）=．
由（1）可知g（x）≥g（16），
又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，
因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．
综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．
32．【答案】（1）见解析；（2）．
（ii）设，由得或．
①若，则，所以在上单调递增．
②若，则，故当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
③若，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．