人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3.2 函数的极值与导数

知识
1．函数极值的概念
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件
必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________．
充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号．
3．函数极值的求法
一般地，求函数的极值的方法是：
解方程．当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________．
知识参考答案：

3．极大值 极小值
重点
重点
利用导数求函数极值的方法
难点
函数极值的应用
易错
对函数取得极值的充要条件理解不到位
重点 求函数的极值
（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．
已知函数（且），求函数的极大值与极小值．
【答案】见解析．
【解析】由题设知，．
令得或．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
+
0
–
0
+

极大值
极小值
则，．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
–
0
+
0
–
极小值
极大值
则，．
故，．
【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．
难点 函数极值的应用
解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
已知函数在，处取得极值．
（1）求，的值；
（2）求在点处的切线方程．
【答案】（1），；（2）．
（2），则，得．
又由，得．
从而，得所求切线方程为，即．
已知．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
（2）由（1）知，．
①当时，单调递增．
所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
所以在x=1处取得极小值，不合题意．
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意．
③当时，，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意．
④当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，合题意．
综上可知，实数的取值范围为．
基础训练
1．函数在处取得极值，则实数的值为
A． B．
C． D．
2．函数的极值点的个数是
A．0 B．1
C．2 D．无数个
3．如图是的导函数的图象，现有四种说法：
①在上是增函数；
②是的极小值点；
③在上是减函数，在上是增函数；
④是的极小值点．
以上说法正确的序号为
A．①② B．②③
C．③④ D．④
4．函数在上的极小值点为
A．0 B．
C． D．
5．设，若函数有大于零的极值点，则
A． B．
C． D．
6．设，若函数有大于的极值点，则
A． B．
C． D．
7．函数的极小值为________________．
8．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是________________．
9．已知函数，则函数的极大值为________________．
10．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．

11．已知函数（为实数），．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
12．已知函数在处有极值．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性并求出单调区间．

能力提升
13．已知函数存在极小值，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
14．设函数满足，，则当时函数
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
15．已知，若在区间上只有一个极值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
16．已知函数，当时，函数的极值为，则________________．
17．若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是________________．
18．已知函数（e为自然对数的底数，，）．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值；
（2）设，若在上单调递减，求实数的取值范围．
20．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
真题练习
21．（2019新课标全国II理）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B．
C． D．1
22．（2019北京理）设函数=[]．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；
（2）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
23．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．

24．（2018新课标全国Ⅰ理）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
25．（2018新课标全国Ⅲ理）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
26．（2019江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【解析】，函数在处取得极值，则，可得．故选B．
2．【答案】A
【解析】，由可得，该方程无解，因此函数无极值点．故选A．
3．【答案】B
【解析】因为导函数在上有正有负，所以在上是增函数是错误的；当时，，当时，，所以是的极小值点；当时，，时，，所以在上是减函数，在上是增函数；是的极大值点．故选B．
4．【答案】C
5．【答案】A
【解析】因为，所以，由题意知，有大于0的实根，可得，因为，所以，所以，故选A．
6．【答案】C
【解析】函数的导数为，函数有大于的极值点，即有大于的实根，所以函数与函数的图象在y轴右侧有交点，所以，故选C．
7．【答案】
【解析】，令，得，当或时，，当时，，所以当时，函数取极小值，且极小值是．
8．【答案】
【解析】因为，所以，
又因为函数有两个极值，所以有两个不等的实数根，所以，
即，解得或．故实数的取值范围是．
9．【答案】
10．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）由题意可得，故．
又，故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由可得或，
，随的变化情况如下表所示，
↗
极大值
↘
极小值
↗
，．
11．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）极大值为，无极小值．
【解析】（1）由题意得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由可得，由可得，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）函数的定义域为，，
由可得；由，可得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，为，无极小值．
12．【答案】（1）；（2）的递减区间是，递增区间是．
13．【答案】A
【解析】，因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根，设为，．故，所以的取值范围为，故选A．
14．【答案】D
【解析】由题意得，令，
则，
因此当时，；当时，，
故，
因此当时，恒成立，所以当时函数既无极大值也无极小值，故选D．
15．【答案】A
16．【答案】
【解析】，，，或，当时，，此时函数没有极值，，又，，，．
17．【答案】
【解析】由可得，因为函数在区间内有极值，且，所以方程在在区间内有解，即方程在区间内有解，解得或(舍去)．构造函数和，由数形结合可得为函数的极大值点，故，即，则实数的取值范围是．
18．【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；当时，的单调递减区间是，单调递増区间是，极小值为，无极大值；（2）．
（2）由，可得，
因为，所以，即对任意恒成立，
记，则，
因为，所以，即在上单调递增，
故，所以实数的取值范围为．
19．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）．
【解析】（1）由可得，
由题意知，解得，
所以，．
当时，或；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的极大值为，
极小值为．
（2）由可得，
由在上单调递减可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以在上单调递增．
故，所以，
故实数的取值范围是．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由，通过讨论确定的单调性，再由单调性确定极值．
（2）因为，
所以，
令，则，所以在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
①当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以当时取到极大值，极大值是，
当时取到极小值，极小值是．
②当时，，
当时，，单调递增；
所以在上单调递增，无极大值也无极小值．
【名师点睛】（1）求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．（2）若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
21．【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
22．【答案】（1）a的值为1；（2）a的取值范围是（，+∞）．
【分析】（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
【名师点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
23．【答案】（1）；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析．
【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果．
【解析】（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–．
由题设知，f′（2）=0，所以．
从而，．
当02时，>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．
【解析】（1）的定义域为，．
（1）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．
（2）若，令得，或．
当时，；
当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
25．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）当时，，．
设函数，则．
当时，；当时，．
故当时，，且仅当时，，
从而，且仅当时，，所以在单调递增．
又，故当时，；当时，．
（2）若，由（1）知，当时，，
这与是的极大值点矛盾．
若，设函数．
由于当时，，故与符号相同．
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点．
．
如果，则当，且时，，
26．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）．
【思路分析】（1）先求导函数的极值：，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减．而，故可得的取值范围．

列表如下：
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是．从而．因此，定义域为．
（2）由（1）知，．设，则．
当时，，从而在上单调递增．
因为，所以，故，即．因此．
（3）由（1）知，的极值点是，且，．
从而
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，．
因为，于是在上单调递减．
因为，于是，故，因此a的取值范围为．