人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3.3 函数的最大（小）值与导数

知识
1．函数的最值与导数
一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数最值的步骤
求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的________；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识参考答案：
1．连续不断 2．极值
重点
重点
利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用
难点
函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题
易错
求最值时，易忽略函数的定义域
重点 求函数的最值
求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．
已知函数，其中，为自然对数的底数．设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值．
【答案】见解析．
【解析】由，有，所以．
因此，当时，．
当时，，所以在区间上单调递增．
于是，在上的最小值是．
综上所述，当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是．
【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．
重点 函数最值的应用
由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．
已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）当时，的最小值是，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），，
当时，在上恒成立，
则的单调递减区间为；
当时，令，得，则的单调递减区间为．
【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论．
难点 恒成立问题
利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．
若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以．
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．
故实数的取值范围是．故选C．
已知函数．
（1）求的极小值；
（2）对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为；（2）．
【解析】（1），令，得．
当变化时，与的变化情况如下表：
则的极小值为．
则，故实数的取值范围是．
【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围．
易错 因未验根而致误
已知在时有极值0，求常数a，b的值．
【错解】因为在时有极值0且，
所以，即，解得或．
【错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根．
【正解】因为在时有极值0，且．
所以，即，
解得或．
当，时，，
所以在上为增函数，无极值，故舍去．
当，时，．
当时，为增函数；
当时，为减函数；
当时，为增函数．
所以在时取得极小值，
因此，．
【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错．
基础训练
1．下列说法正确的是
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是
A．函数f(x)有最小值f(x0) B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)
C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函数f(x)不一定有最小值
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
4．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
5．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则其导函数是
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的奇函数
6．已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为
A． B．
C． D．
7．若函数，则
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，无最小值
C．最小值为，无最大值 D．既无最大值也无最小值
8．函数在上的最小值是________________．
9．函数的最大值为________________．
10．函数在[0，1]上的最大值为________________．
11．函数在上的最小值为________________．
12．已知函数，．若的图象在处与直线相切．
（1）求的值；
（2）求在上的最大值．
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．

14．函数
（1）若函数在内没有极值点，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
能力提升
15．已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A．20 B．18
C．3 D．0
16．函数在上的最大值为2，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
17．已知在[1，5]上有最小值为0，则在[1，5]上的最大值为________________．
18．已知，若，使得成立，则实数的取值范围是________________．
19．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为________________．
20．已知函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为________________．
21．已知函数在处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若有极大值28，求在上的最小值．

22．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值．
23．已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在正数，使得成立，求实数的取值范围．

真题练习
24．（2019新课标全国Ⅲ理）已知函数有唯一零点，则
A． B．
C． D．1
25．（2018新课标全国Ⅰ理）已知函数，则的最小值是________________．
26．（2019江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________________．
27．（2018新课标全国Ⅲ节选）已知函数，当a﹤0时，证明．
28．（2019北京）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

29．（2019山东模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
30．（2019天津模拟）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
31．（2018新课标全国Ⅱ理）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
参考答案
1．【答案】D
【解析】由极值与最值的概念可知应选D．
2．【答案】A
【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，
又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．故选A．
3．【答案】D
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1，1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1，1)上是递减的，
∴函数f(x)在区间(－1，1)上既无最大值，也无最小值．故选D．
4．【答案】A
【解析】y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时，y＝1；当x＝－1时，y＝12；当x＝1时，y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．
5．【答案】D
6．【答案】D
【解析】令，得或，当时，，当时，，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为．故选D．
7．【答案】D
【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D．
8．【答案】
【解析】，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而函数在上的最小值是．
9．【答案】
【解析】，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，．
10．【答案】
11．【答案】
【解析】，
令，得或或．列表如下：
0
(0，1)
1
(1，2)
2
0
+
0
0
+
增
减
增
3
由表可知，函数的最小值为．
12．【答案】（1）（2）最大值为．
【解析】（1）由题可得．
由函数的图象在处与直线相切，可得，
即，解得．
13．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的定义域为，，
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当时，在上无最大值；
当时，在处取得最大值，最大值为．
因此，．
令，则在上是增函数，，
于是，当时，；当时，，因此实数a的取值范围是．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，，
当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；
当时，因为，所以，解得或．
综上，实数的取值范围为．
15．【答案】A
【解析】，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减．，，，，可知的最大值为20，故的最小值为20．故选A．
16．【答案】D
【解析】当时，，令得，令，得，则在上的最大值为．欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D．
17．【答案】
【解析】令，得或，当时，，当时，，所以在处取得最小值，即，所以，又，，所以函数在[1，5]上的最大值为．
18．【答案】
【解析】易知的最大值为，，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为．，使得成立，只需．故实数的取值范围是．
19．【答案】
20．【答案】
【解析】由题意设，则，，，所以，解得，即，则可化为，令，原问题可转化为．因为，当时， ，，即，即函数在区间上单调递增，所以，所以，即．故实数的取值范围为．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
由于在点处取得极值，故有，
即，化简得，解得．
（2）由（1）知，．令，得．
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数．
由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．
由题设条件知，得，
此时，
因此在上的最小值为．
22．【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当时，．
（2）由得，
令得，令得，
在上单调递增，在上单调递减．
①当，即时，函数在区间[1，2]上是减函数，
∴的最小值是．
②当，即时，函数在区间[1，2]上是增函数，
∴的最小值是．
③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．
又，∴当时，最小值是；
当时，最小值为．
综上，当时，；当时，．
23．【答案】（1）；（2）．
（2）不等式即，即，
令，由题意可得，
易得，
令，则在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故实数的取值范围为．
24．【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，；当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为．
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数与函数有一个交点，
即，解得．故选C．
25．【答案】
【名师点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值．
26．【答案】–3
【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
27．【答案】证明见解析．
【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，利用导数易得，即得证．
28．【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为．
【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值．
【解析】（1）因为，所以．
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）设，
则．
当时，，所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即，
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
29．【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．
从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．
从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．
30．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．
（2）由（1）知 ，．
设，则．
当 时， ；当 时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，
且当时，；当时，，当时，．
因为，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由可得，因为是在（0，1）的最大值点，
由，得，所以．
31．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
当时，，没有零点；当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．