2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1指数与指数幂的运算（第1课时）根式学案新人教A版必修1

第1课时　根式
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)
2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
[提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
1．的运算结果是(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．－3
C．±3 D．±
A　[＝＝3.]
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]
3．下列说法正确的个数是(　　)
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1　　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4
B　[①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]
4．若x3＝－5，则x＝________．
－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]
n次方根的概念问题
【例1】　(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．
(2)已知x6＝2 016，则x＝________．
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3；±2　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.
(2)因为x6＝2 016，所以x＝±.
(3)要使有意义，
则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
n次方根的个数及符号的确定
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
1.已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①；②；③；④，其中无意义的有(　　)
A．1个　　 B．2个　　　C．3个　　　D．0个
A　[①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]
利用根式的性质化简求值
【例2】　化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．若＝3a－1，求a的取值范围．
[解]　∵＝＝|3a－1|，
由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥.
有限制条件的根式的运算
[探究问题]
1．当a>b时，等于多少？
提示：当a>b时，＝a－b.
2．绝对值|a|的代数意义是什么？
提示：|a|＝
【例3】　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________．
(2)若－3思路点拨：(1)由x<0，先计算|x|及，再化简．
(2)结合－3(1)－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解]　－
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
1．将本例(2)的条件“－3[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
2．在本例(1)条件不变的情况下，求＋.
[解]　＋＝x＋＝x＋1.
带条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
1．注意同()n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.
2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．
1.思考辨析
(1)实数a的奇次方根只有一个． (　　)
(2)当n∈N*时，()n＝－2. (　　)
(3)＝π－4. (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A.　 B．－　　　
C.　　　 D．±
D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]
3.＋＝________．
1　[＋＝4－π＋π－3＝1.]
4．已知－1[解]　原式＝－
＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.