2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1指数与指数幂的运算（第2课时）指数幂及运算学案新人教A版必修1

第2课时　指数幂及运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－＝＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
[提示]　①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5　　 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A　[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．4等于(　　)
4．(m)4＋(－1)0＝________．
m2＋1　[(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；(3) (b>0)．
[解]　(1)原式＝＝＝＝a.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1.将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
[解]　
利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例2】　化简求值：
(1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
[解]　
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
2．(1)计算：＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)化简：÷÷(a>0)．
[解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1．和存在怎样的等量关系？
提示：＝＋4.
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.
【例3】　已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
思路点拨：＝4

[解]　(1)将＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解]　令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解]　由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1.思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0. (　　)
(2)5＝. (　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a. (　　)
(4)a可以理解为个a. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．把根式a化成分数指数幂是(　　)
A．(－a)　　　　　　　 B．－(－a) 
C．－a D．a
D　[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知x＋x＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
B　[∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]
4．求下列各式的值：
[解]