2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算（第1课时）对数学案新人教A版必修1

第1课时　对数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)
2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)
3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1．
2．常用对数与自然对数
3.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　　 B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
2．若log3x＝3，则x＝(　　)
A．1 B．3
C．9 D．27
D　[∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0
B．0C．0D．1B　[由对数的定义可知
解得04．ln 1＝________，lg 10＝________．
0　1　[∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
指数式与对数式的互化
【例1】　将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)log32＝－5；
(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
[解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由log32＝－5，可得＝32.
(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4)由ln x＝2，可得e2＝x.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　 (2)＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解]　(1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；
(3)＝27；(4)()－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m；
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625.
[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝log625，∴()x＝625，5＝54，∴x＝3.
应用对数的基本性质求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
【例3】　设5＝25，则x的值等于(　　)
A．10　　　　　　 B．13
C．100 D．±100
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B　(2)10　[(1)由5＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
1．在本例(2)条件不变的前提下，计算x的值．
[解]　∵x＝10，∴x＝10＝.
2．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e　[由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
1．对数的概念：ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．
2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
3．对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.
1.思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3. (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
C　[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________．
3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4．求下列各式中的x值：

[解]