2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（第1课时）对数函数的图象及性质学案新人教A版必修1

第1课时　对数函数的图象及性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)
2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1．通过学习对数函数的国家，培养直观想象素养；
2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是
减函数
在(0，＋∞)上是
增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　B.　　C.　　D.
A　[由图可知，a>1，故选A.]
2．若对数函数过点(4，2)，则其解析式为________．
f(x)＝log2x　[设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(－1，＋∞)　[由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝logx.其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f＝____________.
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1.若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
对数函数的定义域
【例2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0(2)函数式若有意义，需满足即解得－1(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．
[解]　(1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为(－1，0)∪(0，4)．
对数函数的图象问题
[探究问题]
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
【例3】　(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
思路点拨：(1)结合a>1时y＝a－x＝及y＝logax的图象求解．
(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
(1)C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]
(2)[解]　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
C　[∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.]
2．把本例(2)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　　(2)　
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　　　　(4)　
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
1.思考辨析
(1)对数函数的定义域为R. (　　)
(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1，0)． (　　)
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝ln x
D　[结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]
3．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
C　[由得即1≤x<.]
4．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解]　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0