2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数学案新人教A版必修1

2.3　幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1．结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
[提示]　幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)
时，增函数
x∈(－∞，0]
时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　　　 B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
2．已知f(x)＝(m＋1)x是幂函数，则m＝(　　)
A．2 B．1
C．3 D．0
D　[由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________．
　[由f(2)＝可知2α＝，
即α＝－，
∴f(4)＝4＝.]
幂函数的概念
【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解]　由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
1.(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
(1)B　(2)　[(1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝＝.]
幂函数的图象及应用
【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】　比较下列各组中幂值的大小：
(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)2，1.8；
(4)1.2，0.9，.
思路点拨：构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
[解]　(1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
(3)∵函数y＝x是增函数，且2＞1.8，∴2>1.8.
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
∴1.8>1.8，∴2>1.8.
(4)0.9＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)与；
(2)与；
(3)与.
[解]　(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以>.
(3)因为函数y1＝为R上的减函数，又>，
所以>.
又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以>，所以>.
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． (　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． (　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数． (　　)
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1　　　　　 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝x3
B　[设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]
3．函数y＝x的图象是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
C　[∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]
4．比较下列各组数的大小：