2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）阶段复习课学案新人教A版必修1

第2章 基本初等函数（Ⅰ）
指数与对数的运算
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)1.5×＋80.25×＋(×)6
[解]　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
1.设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)
A．6　　　　　　 B．3
C．2 D．1
D　[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
基本初等函数的图象及应用
【例2】　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B　[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)
A．(1，1) B．(1，0)
C．(2，1) D．(2，0)
C　[把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]
比较大小
【例3】　若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD．<
C　[因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．]
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
3.设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
C　[∵a＝log2π>log22＝1，b＝logπc>b，故选C.]
基本初等函数的性质
【例4】　(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)A　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数．]
(2)[解]　①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a，3a]上为增函数．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为.
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
[解]　∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解]　由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3，27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝－，t∈[3，27]，
∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
分类讨论思想的应用
【例5】　已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图象经过点M(2，1)，讨论f(x)的单调性并证明．
思路点拨：(1)分a>1和00；
(2)借助单调性的定义求证．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，只需ax－1>0，即ax>1.
①当a>1时，解得x>0，
②当0故当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)由f(2)＝1得，log3(a2－1)＝1，
∴a2＝4，即a＝2.
故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设x2>x1>0，则2x2>2x1>1，
即2x2－1>2x1－1>0，
∴>1，
∴log3>log31＝0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a>1与04.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
[解]　①若a>1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，
∴f(2)－f(1)＝，
即a2－a＝，
解得a＝.
②若0∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝.
综上所述，a＝或a＝.