2019_2020学年高中数学第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学案新人教A版必修1

3.1.1　方程的根与函数的零点
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1．借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
[提示]　不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
思考2：该定理具备哪些条件？
[提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
D　[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]
2．函数y＝2x－1的零点是(　　)
A.　　　B.　　C.　　D．2
A　[由2x－1＝0得x＝.]
3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)
A．(0，1) B．(－1，0)
C．(2，3) D．(1，2)
D　[由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1，2)．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
求函数的零点
【例1】　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
判断函数零点所在的区间
【例2】　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3，4)　　　　　　　 B．(2，e)
C．(1，2) D．(0，1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(1)C　(2)C　[(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C.]
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　　 B．0
C．1 D．3
A　[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
函数零点的个数
[探究问题]
1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程
f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．
故a的范围为y＝f(x)的值域．
法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
【例3】　已知0A．1 B．2
C．3 D．4
思路点拨：构造函数f(x)＝a|x|(0与g(x)＝|logax|(0→
B　[函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(01．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
[解]　由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，作出y＝及y＝|logax|(0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
[解]　由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当01．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
1．思考辨析
(1)f(x)＝x2的零点是0. (　　)
(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． (　　)
(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． (　　)
(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1)　　　　 B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1，2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D　[∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．]
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是.