3.2.1 等体积变形问题和行程问题学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学七年级上册同步学案
第3章　一次方程与方程组
3.2　一元一次方程的应用
第1课时　等体积变形问题和行程问题
要 点 讲 解
要点　等体积变形问题和行程问题
1. 列一元一次方程解应用题的步骤
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2)找：找出能够表示问题含义的一个等量关系(可借助于示意图、表格等)．
(3)设：设未知数．
(4)列：根据这个等量关系列出需要的式子，从而列出方程．
(5)解：解所列出的方程，求出未知数的值．
(6)答：检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称)．
2. 等体积变形问题
形积问题，虽然形状、面积和体积都可发生改变，但应用题中仍然含有一个等量关系．
(1)形状发生了变化，而体积没有变．此时等量关系为变化前后体积相等．
(2)形状、面积发生了变化，而周长没有变．此时等量关系为变化前后周长相等．
(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系．
经典例题1　一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？
解析：题中存在的等量关系是V长方体＝V圆柱．
解：设圆柱的高是xcm，根据题意，得4×3×2＝π×1.52x，所以x＝.
答：圆柱的高是cm.
3. 行程问题
常用数量关系：路程＝平均速度×时间；时间＝；平均速度＝.
这类问题一般分为相遇问题和追及问题．
相遇问题的特点是相向而行，等量关系一般是：双方所走的路程之和＝全部路程．(仅指第一次相遇，以下同)．
追及问题的特点是同向而行，等量关系一般是：双方行程的差的绝对值＝原来的路程(开始时双方相距的路程)．
环形跑道上的相背而行中的等量关系：甲跑的路程＋乙跑的路程＝环形跑道长度．
环形跑道上的同向而行中的等量关系：甲跑的路程－乙跑的路程＝环形跑道长度(甲的速度大于乙的速度)．
经典例题2　小亮与小莹在运动场上跑步，跑道一圈的长为400米．小亮与小莹的速度分别为5米/秒与4米/秒．
(1)如果二人从跑道上某一位置同时相背起跑，那么经过多少秒二人第一次相遇？
(2)如果二人从跑道上某一位置同时同向起跑，那么经过多少分钟小亮第一次追上小莹？
解析：(1)中存在的等量关系：小亮跑的路程＋小莹跑的路程＝400米，这属于相遇问题；(2)中存在的等量关系：小亮跑的路程－小莹跑的路程＝400米，这属于追及问题．
解：(1)设经过x秒二人第一次相遇．根据题意，得5x＋4x＝400，解这个方程，得x＝.
(2)设经过y秒小亮第一次追上小莹．
根据题意，得5y－4y＝400，解这个方程，得y＝400.＝(分)．
答：(1)经过秒二人第一次相遇．(2)经过分钟小亮第一次追上小莹．
当 堂 检 测
1. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，其内部底面面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先甲中的水位高度低了8cm，则甲容器的容积为(　　)
A. 1280cm3 B. 2560cm3 C. 3200cm3 D. 4000cm3
2. 汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4秒后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，设听到回声时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为(　　)
A. 2x＋4×20＝4×340 B. 2x－4×72＝4×340
C. 2x＋4×72＝4×340 D. 2x－4×20＝4×340
3. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min，每小时骑12km就会迟到5min.问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出的方程是(　　)
A. ＋＝－　　 B. －＝＋
C. －＝－ D. ＋10＝－5
4. 一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　)
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
5. 在400m长的环形跑道上，甲练习骑自行车，速度为6m/s，乙练习跑步，速度为4m/s，若两人同时、同地、相向而行， s后两人首次相遇.
6. 要锻造直径为50cm，高为40cm的圆柱毛坯，需要截取边长为20cm的方钢多长？设需要截取边长为20cm的方钢xcm，根据题意得方程 .
7. 甲、乙两站相距240km，从甲站开出来一列慢车，速度为80km/h，从乙站开出来一列快车，速度为120km/h，问：如果两车同时开出，同向而行(快车在后)，那么快车经过 小时可以追上慢车.
8. 一个三角形的三条边的长度之比为2∶4∶5，最长的边比最短的边长6cm，求该三角形的周长.
9. 一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575km/h，风速为25km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？
当堂检测参考答案
1. C 2. A 3. A 4. B
5. 40
6. π·()2×40＝202x
7. 6
8. 解：设该三角形的边长分别为2x cm，4x cm，5x cm.由题意得5x－2x＝6，解得x＝2.所以2x＋4x
＋5x＝11x＝11×2＝22，即该三角形的周长为22 cm.
9. 解：设飞机顺风飞行的时间为t h.依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)，解得t＝2.2.则(575＋
25)t＝600×2.2＝1320.答：这架飞机最远能飞出1320 km就应返回.