3.5 三元一次方程组及其解法学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学七年级上册同步学案
第3章　一次方程与方程组
3.5　三元一次方程组及其解法
3.6　综合与实践　一次方程组与CT技术
要 点 讲 解
要点一　三元一次方程组的概念
1. 由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．
2. 满足三元一次方程组的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)含有未知数的项的次数是1；
(3)方程组中的每个方程都是整式方程．这三者缺一不可．
经典例题1　下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　　)
A． 　　　 B． 
C．  D． 
解析：A项中x2－y＝1与xz＝2中有未知数项的次数为2次；B项中，，不是整式；C项中有四个未知数．故A，B，C项都不是三元一次方程组；D项符合三元一次方程组的定义，故答案为D．
答案：D
要点二　三元一次方程组的解法
1. 解三元一次方程组的基本思想仍是消元：先将三元一次方程组通过消元变为二元一次方程组，再经消元变为一元一次方程．常用的方法是加减消元法和代入消元法．
2. 解三元一次方程组的一般步骤是：
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元－次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单并含有第三个未知数的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号”{”合写在一起．
经典例题2　解方程组：
解析：方程组中各方程的未知数系数比较简单，因而可采用加减消元法，首先消去z，化为二元一次方程组．
解：②＋③，得5x＋3y＝－1，
②×2＋①，得4x＋3y＝－2，
所以得方程组
④－⑤得x＝1.
将x＝1代入④得5×1＋3y＝－1，所以y＝－2.
将x＝1，y＝－2代入②得1＋2×(－2)－z＝－5，所以z＝2.
所以原方程组的解是
要点三　三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：明确什么是已知，什么是未知，题目中给出了哪些等量关系．
(2)设未知数：一种是直接设法，即求什么设什么；另一种是间接设法，就是把与题目中要求的未知数相关的另一些量设为未知数．
(3)列方程组：将已知量、未知量代入等量关系中，从而列出三元一次方程组．
(4)解方程组：得出未知数的值，作答．
经典例题3　某市举办足球联赛活动，这次足球联赛共赛11场，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜场数的，结果共得20分．问该校队胜、平、负各多少场？
解析：该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场数与负的场数之间的关系．等量关系有：胜场数＋负场数＋平场数＝11；胜场得分＋平场得分＝总得分；胜场数＝负场数×2.将以上等量关系转化成方程组，问题得到解决．
解：设该校队胜x场、平y场、负z场，
根据题意，得
解这个三元一次方程组，得
答：该校队胜6场、平2场、负3场．
要点四　一次方程组与CT技术
CT是X射线计算机断层成像的简称，亦指一种病情探测仪器．由于CT分辨率高，可使人体内组织或结构清楚地显影，能清楚地显示出器官是否有病变，因而对于脑瘤、肺癌等疾病，CT检查作出的诊断都是比较可靠的．
CT的工作程序是这样的：根据人体不同组织对X射线吸收程度的不同，运用灵敏度极高的仪器对人体进行检查，然后将检查所获取的数据输入计算机，由计算机对数据进行处理，就可得到人体被检查部位的各断层的图象，从而发现体内任何部位的细小病变．如CT在对人的大脑进行检查时，为了显示整个头部的情况，就需要先把它分成多个连续的横断面即断层，断层厚度一般为1～10mm，再进行扫描，以获得各断层图象．
当 堂 检 测
1. 下列是三元一次方程组的是(　　)
A.  B. 
C.  D. 
2. 解方程组 以下解法不正确的是(　　)
A. 由①、②消去z，再由①、③消去z
B. 由①、③消去z，再由②、③消去z
C. 由①、③消去y，再由①、②消去y
D. 由①、②消去z，再由①、③消去y
3. 小赵要把面额是20元的人民币换成零钱，现在只有5元和1元两种面额的人民币可供选择，那么他换零钱的不同方法有(　　)
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
4. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购买铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需31.5元；若购买铅笔4支、练习本8本、圆珠笔2支共需42元，那么，购买1支铅笔、1本练习本、1支圆珠笔共需(　　)
A. 12元 B. 10.5元 C. 9.5元 D. 9元
5. 已知方程组的解x与y的和为0，则k的值为 .
6. 解三元一次方程组：
7. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么租房方案有几种？
当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. B 4. B
5. －1
6. 解：由①＋②得，5x－z＝14④，由①＋③得，4x＋3z＝15⑤.联立④⑤，得解得将代入③，得3＋y＋1＝12，解得y＝8.所以原方程组的解为
7. 解：设该旅行团租住二人间、三人间、四人间三种客房间数分别为x间，y间，z间.则②－①×2，得y＋2z＝6，它的正整数解为所以x，y，z的正整数解为或故该旅行团有租住二人间、三人间、四人间三种客房分别为2间、4间、1间或3间、2间、2间这两种方案.