2.2 椭圆 同步练习（解析版）

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椭圆强化训练

一、单选题
1．焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（　）
A． B． C． D．
【解析】因为长轴长为，故长半轴长，因为半焦距，故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ，故选C
2．已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，
则，所以椭圆的离心率为：．
故选：．
3．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题意，的周长为16，即,
根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．
4．已知P为椭圆上的点，点M为圆C1：(x＋3)2＋y2＝1上的动点，点N为圆C2：(x－3)2＋y2＝1上的动点，则|PM|＋|PN|的最大值为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
【解析】根据题意，椭圆的焦点为(－3，0)，(3，0)，
分别是两圆(x＋3)2＋y2＝1和(x－3)2＋y2＝1的圆心，
所以(|PM|＋|PN|)max＝|PC1|＋|PC2|＋2＝2×5＋1＋1＝12，
故选：B.
5．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
如图根据对称性，点D在直线y=x上，可得,即.
可得，解得.
本题选择A选项.

6．如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【解析】由题意知A，
把A代入椭圆(a＞b＞0)，
得，
∴，
整理，得，∴，
∵0＜e＜1，∴，故选D.
7．已知椭圆，为左焦点，为右顶点,,分别为上、下顶点，若、、、四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】
由题设圆的半径，则，即，解之得，应选答案B。
8．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )
A． B． C． D．
【解析】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
9．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).
A． B． C． D．
【解析】
当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.
10．设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.
故选C.
11．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得，解得1＜m．
则m的取值范围为：（1，）．故选：B．
12．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为右顶点和是上顶点，则（ ）

A. B. C. D.
【解析】设椭圆的方程为，
由已知，得
则
离心率
即






二、填空题
13．已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．
【解析】过点作轴于点，如图所示：

由是底角为的等腰三角形得，，所以，，所以，所以，即离心率，故答案为．
14．设、为椭圆:的两个焦点，为上点，，则的面积为______.
【解析】由题意可知，，，，则.
如下图，由题意知，由勾股定理得，
由椭圆定义得，
将该等式两边平方得，，
因此，的面积为，故答案为：.

15．设、为椭圆的两个焦点．为上一点且在第一象限．若为直角三角形，则的坐标为________．
【解析】由题意可知，，，，则.
设椭圆的右焦点为点，分以下两种情况讨论：
①当时，即轴，设点，由于点在椭圆上，则，解得，此时点的坐标为；
②当时，则点在以为直径的圆上，且圆的方程为，与椭圆的方程联立，解得.
综上所述：点的坐标为或，故答案为：或.
16．已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为__________．
【解析】因为是等腰三角形且，所以.
设，因为，所以，
得，,又Q在椭圆上，
所以，，又，
所以，，，,
故答案为.
17．直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为_______
【解析】设，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即，由点斜式得，即.
故填：.
18．已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若,则椭圆的离心率为_______.
【解析】由题意画出图像

由题意可知
由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，，又，得
则，即，
故答案为：
19．已知点M（，直线与椭圆相交于A、B两点，则的周长为____
【解析】由题意，椭圆中a＝1，b＝1，c，
∴点为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，
∴由椭圆的定义，可得△ABM的周长为4a＝4×2＝8．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【解析】∵，∴，．
又，∴，即，解得．
又，∴．
21．在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______.
【解析】因为点是椭圆内一点，故，
由可得.
为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，
而，当且仅当三点共线时等号成立，
故，所以，
所以，故.
的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，
故分别填：，.

三、解答题
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2．
（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足，求椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】（1）由题设，椭圆的焦距，即，
所以，
因为椭圆经过点，所以，即，
化简、整理得，解得（负值已舍去）.
故求椭圆的标准方程为.
（2）易知，设，于是.①
因为，即，
所以，即.②
联立①②，并注意到，解得.
因为，所以.
于是，即，亦即.
所以，即.
故椭圆的离心率的取值范围是.
23．已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．

（1）求椭圆C的方程；
（2）若分别为直线AB，AD的斜率，求证：为定值。
【解析】（1）由题意，可得e==，代入A（1，）得，
又，解得，
所以椭圆C的方程．
（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，

又A、B、D三点不重合，∴，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由得4x2+2mx+m2-4=0
所以△=-8m2+64＞0，所以＜m＜．
x1+x2=-m，
设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB=
=
所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．
24．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求的值.
解：（1）由题意得，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）由得.
设点，的坐标分别为，，则，，
，，
所以


又因为点到直线的距离，
所以的面积，
由，整理得：，
解得（舍），故.
25．设椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点A的直线与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
由从而，．
所以，椭圆的方程为．
（2），
，即，
，，
，设，，
，
，
因为以MN为直径的圆经过点A，所以，
则，
即，整理得，
解得或，
又直线l不经过，所以，故，则直线l过定点．
26．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（），
因为点在椭圆上，所以， 解得，
所以，椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
在△F2PF1中，由余弦定理可得：
即
，则



27．己知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于，焦距为2c，圆，，是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，若直线与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线与平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于的同侧），求直线，距离d的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由椭圆的定义知：，
又当直径轴时四边形的面积最大，最大为，
椭圆
（2）因为直线与圆O相切，
又设直线，联立消去y有
化简有
因为，
又，又，，
又由O，P两点位于的同侧，m，n异号，
.

28．已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题意可得轴，则，
因为是边长为2的正三角形，
所以
，且，
解得，，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，
可设切线方程为，可得，，
则，所以，
此时以为直径的圆过原点，
为定值；
当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，
由直线和圆相切可得，即，
联立直线方程和椭圆方程，
可得，
即有，，，


，
可得，
此时．
综上可得以为直径的圆过原点，且为定值．














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